f(n) = n^5-5n^3+4n

=n⁵-n³-4n³+4n

=n³.(n²-1)-4n.(n²-1)

=n(n²-1)(n²-4)

=n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)

ta có: n+1 và n là hai số nguyên liên tiếp nên: n.(n-1) chia hết cho 2

n-1;n;n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

n-1;n;n+1;n+2 là bốn số nguyên liên tiếp nên: n(n-1)(n+1)(n+2) chia hết cho 4

n-2;n-1;n;n+1;n+2 là năm số nguyên liên tiếp nên n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 5

Suy ra: n.(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) chia hết cho 2.3.4.5=120

Vậy f(n) chia hết cho 129 với mọi n thuộc Z

\(a,n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\)(chia hết cho 1;2;3;4;5)\(\Rightarrowđpcm\)

b,
A = n^3-3n^2-n+3 = n^2(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A chia hết cho 16(*)
mặt khác:
A = n^3-3n^2-n+3 = n^3 - n - 3(n^2 - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n^2-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 1 => (n -1) chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3
=> A chia hết cho 3 (**)
(*) và (**) => A chia hết cho 3.16 = 48 (3,16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).

Câu hỏi của CoRoI - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

dat cau hoi muon ko ai tra loi la phai

a)Ta có : 

\(n^3-13n\) = \(n^3-12n-n\)\(=n\left(n^2-1\right)-12n\)\(=n.\left(n-1\right)\left(n+1\right)-6.2n\)

* n ; n-1 và n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên n.(n-1)(n+1) chia hết cho 6 vs 6.2n cũng chia hết cho 6

\(\Rightarrow\) n\(^3\)-13n chia hết cho 6

b)Ta có :A=n\(^5\)−5n\(^3\)+4\(n\)=n(n\(^4\)−5n\(^2\)+4)=n[n\(^2\)(n\(^2\)−1)−4(n\(^2\)−1)]=n(n\(^2\)−1)(n\(^2\)−4)=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)

Vì (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 (1)

    (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) chứa tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 (2)

    (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2) chứa tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8 (3)

 Mà (3;5;8) =1  (4)

Từ (1) , (2) , (3) , (4) => A⋮(3.5.8)

                                 => A⋮120

c) Ta có: n^3+3.n^2-n-3=n^2.(n+3) -(n+3)=(n+3).(n-1).(n+1).
-Do n là số lẻ nên đặt n=2k+1.(k thuộc N).
=> n^3+3.n^2-n-3= (2k+4).2k.(2k+2)= 8.k.(k+1).(k+2).
-Do k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1) chia hết cho 2 và k(k+1)(k+2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên k(k+1)(k+2) chia hết cho 3.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16 và chia hết cho 3. Mà (16,3)=1.
=> 8k(k+1)(k+2) chia hết cho 16.3.
=> n^3+3.n^2-n-3 chia hết cho 48 với mọi n là số tự nhiên lẻ (đpcm). 

Đề bài c sai r nha bn

               Bài làm :

\(a\text{)}\left(n^3-n\right)=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp ⋮ 6 nên : n³ - n ⋮ 6

=> Điều phải chứng minh

\(b\text{)}n^5-m=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì :

=> (n⁵-n) ⋮5

=> Điều phải chứng minh

 \(\text{c)}n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\text{[}n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\text{]}=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\text{Vì : }n-2;n-1;n;n+1;n+2\text{là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,5,8}\)

Mà 3,5,8 nguyên tố cùng nhau nên :

\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3.5.8=120\) \(\)

=> Điều phải chứng minh

a) n³ - n = n( n² - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )

Ta có n( n - 1 ) là hai số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là ba số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6 hay n³ - n chia hết cho 6 ( đpcm ) 

b) n⁵ - n = n( n⁴ - 1 ) = n( n² - 1 )( n² + 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n² + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )[ ( n² - 4 ) + 5 ]

= n( n - 1 )( n + 1 )( n² - 4 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

= n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (1)

5n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

c) n⁵ - 5n³ + 4n = n( n⁴ - 5n² + 4 )

Xét n⁴ - 5n² + 4 (*)

Đặt t = n² 

(*) <=> t² - 5t + 4 = t² - t - 4t + 4 = t( t - 1 ) - 4( t - 1 ) = ( t - 1 )( t - 4 ) = ( n² - 1 )( n² - 4 )

=> n( n⁴ - 5n² + 4 ) = n( n² - 1 )( n² - 4 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )

n( n - 1 ) là tích của hai số nguyên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)

n( n - 1 )( n + 1 ) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 ) là tích của 4 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 4 (3)

n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => đpcm

hello minh anh ak 

bitch