CMR: Nếu \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) và \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\) thì \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. CMR :
Nếu \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\) và \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)thì \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Ờm thì đại khái như vầy , dùng thêm hằng cao cấp mới chơi được =))
Link : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ – Wikipedia tiếng Việt
Dùng hằng mở rộng số 4
Ta có :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\) (1)
Lại có :
\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1^2=1\) (chỗ này dùng cái skill mở rộng)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{ayz}{abc}+\frac{bzx}{abc}\right)=1\)
<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
Thay 1 vào
=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)
mình giải hơi khác 1 chút, nhưng thôi cx đc
Sửa lại :
Lại có :
\(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{yza}{abc}+\frac{zxb}{cba}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
bài 1) CMR
a) (x+y)(y+z)(z+x)=0 (x;y;z#0)
thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
b) cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1và\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
chứng minh \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Ta có:
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{xyz}{abc}\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(đpcm\right)\)
Cho : \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1;\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\left(a,b,c,x,y,z\ne0\right)\)
CMR : \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Đặt : x/a = m ; y/b = n ; z/c = p
=> m+n+p = 1 ; 1/m+1/n+1/p=0
1/m+1/n+1/p=0
<=> mn+np+pm/mnp=0
<=> mn+np+pm=0
<=> 2mn+2np+2pm=0
Xét : 1 = (m+n+p)^2 = m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2pm = m^2+n^2+p^2
=> x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 = 1
=> ĐPCM
Tk mk nha
Ta có: \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{ayz}{xyz}+\frac{bxz}{xyz}+\frac{cxy}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{cxy+ayz+bxz}{abc}\right)=1\left(2\right)\)
Thay (1) vào (2) \(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{0}{abc}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\left(đpcm\right)\)
\(CMR:\hept{\begin{cases}\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1&\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0&\end{cases}}\)
Thì \(:\hept{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=1}\)
Trả lời :
Vì \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=1^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=1\left(dpcm\right)\)
Study ưell
Không chắc
\(Cho:\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1và:\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{x}=0.\\ CMR:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Bạn chỉ cần bình phương PT x/a + y/b + z/c
và chỉ ra ayz + bxz + cxy = 0 ở PT 2 là xong
:D
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Rightarrow(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c})^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{xz}{ac})=1-2\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1-2\cdot0=1(đpcm)\)
1,CMR nếu a,b,c x,y,z thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\frac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\frac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}\)
thì \(\frac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\frac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\frac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}\)
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa )
2,CMR nếu \(\frac{a+bx}{b+cy}=\frac{b+cx}{c+ay}=\frac{c+ax}{a+by}\)
thì \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
3,CMR nếu \(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)
thì x=y=z hoặc x2y2z2=1
Cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1,\frac{a}{z}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
Cmr: \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)
Vì xyz khác 0 nên ayz+bxz+cxy=0 (2)
Thế (2) vào (1) ta được x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 + 2(0/abc) = x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 ( đpcm )Cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) và \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{z}{c}=0.CMR:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Đề bài thiếu dữ kiện.
Đề bài đúng là : Cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) và \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{z}{c}=0\)
Chứng minh rằng : \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Giải : Ta có
\(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ac}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2\left(\frac{xyc+ayz+bzx}{abc}\right)\)
Mặt khác từ \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow\frac{ayz+bxz+cxy}{xyz}=0\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2.0=1\)(đpcm)
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)
cmr nếu \(\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\) thì \(\frac{x^{2017}+y^{2017}+z^{2017}}{a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\)
Từ gt suy ra :\(0=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}-\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)=\left(\frac{x^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{x^2}{a^2}\right)+\left(\frac{y^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{y^2}{b^2}\right)+\left(\frac{z^2}{a^2+b^2+c^2}-\frac{z^2}{c^2}\right)\)
\(=x^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{a^2}\right)+y^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{b^2}\right)+z^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{1}{c^2}\right)\left(1\right)\)
Vì\(a^2,b^2,c^2\ne0\Rightarrow a^2,b^2,c^2>0\Rightarrow a^2+b^2+c^2>a^2;b^2;c^2\)
Thấy rằng trong mỗi dẫu ngoặc,phân thức đầu nhỏ hơn phân thức sau nên mỗi biểu thức trong dấu ngoặc đều âm mà a2,b2,c2 ko âm nên tổng (1) bằng 0 chỉ khi x2 = y2 = z2 = 0 <=> x = y = z = 0.Thay x,y,z = 0 vào 2 vế của đẳng thức cần chứng minh,ta có 2 vế bằng nhau (bằng 0) (đpcm)