Ta có n⁵ +1999n +2017 = n⁵ - n+2000n + 2015 +2 ( n E Z )

Ta thấy: n⁵ +1999n +2017 = n⁵ - n+2000n + 2015 +2 ( n E Z ) chia cho 5 dư 2

 vì không có số chính phương nào chia 5 dư 2 

 Vậy  n⁵ +1999n +2017 ( n E Z ) không phải là số chính phương
 

Lời giải:

Sửa đề thành \(n\in\mathbb{N}\), vì nếu $n$ nguyên âm thì biểu thức không nguyên.

Đặt \(A=n^5+1999n+2017=n^5-n+2000n+2017\)

\(=n(n^4-1)+2000n+2017\)

\(=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2017\)

--------------

Ta biết đến tính chất rất quen thuộc là một số chính phương chia $5$ thì dư $0,1$ hoặc $4$

Nếu \(n^2\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n\equiv 0\pmod 5\) (do $5$ là snt)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow n^2-1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Tóm lại \(n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow A=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2015+2\) chia $5$ dư $2$. Do đó $A$ không thể là scp vì scp chia $5$ dư $0,1$ hoặc $4$

Ta có đpcm.

Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

Đặt : \(n^2+3n=k\)\(\Rightarrow A=k\left(k+2\right)=k^2+2k\)

Ta có : \(\left(k+1\right)^2=\left(k+1\right)\left(k+1\right)\)

\(=k\left(k+1\right)+1\left(k+1\right)\)

\(=k^2+k+k+1=k^2+2k+1\)

Do : \(n\inℕ^∗\Rightarrow n^2+3n>0\)hay : \(k>0\)

\(\Rightarrow k^2+2k>k^2\)

Ta có : \(k^2< k^2+2k< k^2+2k+1\)

hay : \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\)

Do : \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)là hai số chính phương liên tiếp

\(\Rightarrow k^2+2k\)không phải là số chính phương

\(Giai\)

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(\text{Đặt:n2+3n=t}\)

\(A=t\left(t+2\right)=\left(t+1\right)^2-1\)

Đến đây cậu đã làm được chưa ạ?

Mình nghĩ là lm thế này :

A+1=n.(n+1).(n+2).(n+3)+1=n.(n+3).(n+1).(n+2)+1=(n^2+3n).(n^2+3n+2)+1   (1)

Đặt n^2+3n=t (t thuộc N) thì (1) =t.(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2=(n^2+3n+1)^2

Vì n thuộc N nên => n^2+3n+1 thuộc N

Vậy A+1 là số chính phương.

Do đó A không phải số chính phương

Ta có :

\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+n+2\right)}{2}\)

\(=\frac{\left(n+1\right)\cdot2\cdot\left(n+1\right)}{2}\)

\(=\left(n+1\right)^2\)

=> ĐPCM

1/ Xét \(\left(n^{1010}\right)^2=n^{2020}< n^{2020}+1=\left(n^{1010}+1\right)^2-2n^{1010}< \left(n^{1010}+1\right)^2\)

Vì \(n^{2020}+1\)nằm ở giữa 2 số chính phương liên tiếp là \(\left(n^{1010}\right)^2\)và \(\left(n^{1010}+1\right)^2\)nên không thể là số chính phương.

2/ Mình xin sửa đề là 1 tí đó là tìm \(n\inℤ\)để A là số chính phương nha bạn, vì A hoàn toàn có thể là số chính phương

\(A>n^4+2n^3+n^2=\left(n^2+n\right)^2,\forall n\inℤ\)

\(A< n^4+n^2+9+2n^3+6n^2+6n=\left(n^2+n+3\right)^2,\forall n\inℤ\)

Vì A bị kẹp giữa 2 số chính phương là \(\left(n^2+n\right)^2,\left(n^2+n+3\right)^2\)nên A là số chính phương khi và chỉ khi:

+) \(A=\left(n^2+n+1\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+1+2n^3+2n^2+2n\)

\(\Leftrightarrow n^2+n-6=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-3\end{cases}}\)

+) \(A=\left(n^2+n+2\right)^2\Rightarrow n^4+2n^3+2n^2+n+7=n^4+n^2+4+2n^3+4n^2+4n\)

\(\Leftrightarrow3n^2+3n-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\notinℤ\)---> Với n=-3;2 thì A là số chính phương.

3/ Bằng phản chứng giả sử \(n^3+1\)là số chính phương:

---> Đặt: \(n^3+1=k^2,k\inℕ^∗\Rightarrow n^3=k^2-1=\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Vì n lẻ nên (k-1) và (k+1) cùng lẻ ---> 2 số lẻ liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau

Lúc này (k-1) và (k+1) phải là lập phương của 2 số tự nhiên khác nhau

---> Đặt: \(\hept{\begin{cases}k-1=a^3\\k+1=b^3\end{cases},a,b\inℕ^∗}\)

Vì \(k+1>k-1\Rightarrow b^3>a^3\Rightarrow b>a\)---> Đặt \(b=a+c,c\ge1\)

Có \(b^3-a^3=\left(k+1\right)-\left(k-1\right)\Leftrightarrow\left(a+c\right)^3-a^3=2\Leftrightarrow3ca^2+3ac^2+c^3=2\)

-----> Quá vô lí vì \(a,c\ge1\Rightarrow3ca^2+3ac^2+c^3\ge7\)

Vậy mâu thuẫn giả thiết ---> \(n^3+1\)không thể là số chính phương với n lẻ.