Đặt \(n^2-14n-256=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2-14n+49\right)-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7+a\right)\left(n-7-a\right)=305=5\cdot61\)

Đến đây làm nốt đi.

Đặt \(G=n^2-14n-256=a^2\)(là số chính phương)

\(\Leftrightarrow n^2-14n+49-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-305=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n-7\right)^2-a^2=305\)

\(\Leftrightarrow\left(n+a-7\right)\left(n-a-7\right)=305=5.61\)

Mà \(n+a-7\ge n-a-7\)nên \(\hept{\begin{cases}n+a-7=61\\n-a-7=5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n+a=68\\n-a=12\end{cases}}\Leftrightarrow n=\frac{68+12}{2}=40\)

Vậy n = 40 thì \(G=n^2-14n-256\)là số chính phương

Thiếu trường hợp:

305 = 5. 61 = 305 . 1

n là số tự nhiên nhưng a có thể là số âm em nhé! Vì thế  không thể kết luận \(n+a-7\ge n-a-7.\)

Ta thấy: \(4n^2+14n+7=\left(n+3\right)\left(4n+2\right)+1\)

Do n là số nguyên dương \(\Rightarrow4n^2+14n+7\)và n+3 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)\)là 1 SCP thì n+3 và \(4n^2+14n+7\)là 1 số chính phương

Do n nguyên dương \(\Rightarrow\left(2n+3\right)^2\le4n^2+14n+7< \left(2n+4\right)^2\)\(\Rightarrow4n^2+14n+7=\left(2n+3\right)^2\Leftrightarrow n=1\)khi đó n+3=4 là 1 scp 

Thử lại với n=1 \(\left(n+3\right)\left(4n^2+14n+7\right)=100\left(tm\right)\)

Vậy n=1

hello