-Áp dụng định lí Bezout:

\(f\left(-1\right)=4;f\left(-2\right)=1\)

-Vì đa thức f(x) chia cho (x+1)(x+2) thì thương là 5x² và đa thức (x+1)(x+2) có bậc 2:

\(\Rightarrow f\left(x\right)=5x^2\left(x+1\right)\left(x+2\right)+ax+b\)

*\(f\left(-1\right)=5x^2\left(-1+1\right)\left(-1+2\right)+a.\left(-1\right)+b=b-a\)

\(\Rightarrow b-a=4\left(1\right)\)

\(f\left(-2\right)=5x^2\left(-2+1\right)\left(-2+2\right)+a.\left(-2\right)+b=b-2a\)

\(\Rightarrow b-2a=1\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra: \(a=3;b=7\)

-Vậy \(f\left(x\right)=5x^2\left(x+1\right)\left(x+2\right)+ax+b=5x^2\left(x^2+3x+2\right)+3x+7=5x^4+15x^3+10x^2+3x+7\)

GỌI THƯƠNG CỦA PHÉP CHIA f(x) cho (x-2)    và (x+5) lần lượt là p(x) và Q(x)

theo bài ra ta có 

\(\hept{\begin{cases}f._x=\left(x-2\right).p._{\left(x\right)}+1............\left(1\right)\\f._{\left(x\right)}=\left(x+5\right).Q._{\left(x\right)}+8.......\left(2\right)\end{cases}}\)

GỌI THƯƠNG CỦA PHÉP CHIA f(x) cho (x-2)(x+5)  [ là x^2+3x-10  phân tích thành]              =2x là g(x) và số dư là  nhị thức bậc nhất là ax+b

ta có,            \(f._{\left(x\right)}=\left(x-2\right)\left(x+5\right).g._{\left(x\right)}+ax+b....................\left(3\right)\)

TỪ (1) VÀ (3) TA CÓ X=2 THÌ                    \(\hept{\begin{cases}f._2=1\\f_2=2a+b\end{cases}}\)        

=>         2a+b=1    =>b=1-2a                (4)

TỪ (2) VÀ (3) TA CÓ X=-5   THÌ                     \(\hept{\begin{cases}f_{\left(-5\right)}=8\\f_{\left(-5\right)}=-5a+b\end{cases}}\)

=>        8=-5a+b  =>b=8+5a                 (5)

TỪ (4) VÀ (5) =>1-2a=8+5a    <=> a=-1

                                                => b=3

vậy số dư là   -x+3

vậy đa thức f(x) =(x-2)(x+5) .2x+(-x+3)=\(2x^3+6x^2-21x+3\)  

Vì \(P\left(x\right)\)chia cho x+3 du 1 nên

\(P\left(x\right)=\left(x+3\right)q\left(x\right)+1\)

\(\Rightarrow P\left(-3\right)=\left(-3+3\right)q\left(-3\right)+1=1\left(1\right)\)

Vì P(x) chia cho x-4 dư 8 nên 

\(P\left(x\right)=\left(x-4\right)q\left(x\right)+8\)

\(\Rightarrow P\left(4\right)=8\left(2\right)\)

Vì P(x) chia cho (x+3)(x-4) được thương là 3x và còn dư 

\(\Rightarrow P\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-4\right)3x+ax+b\left(3\right)\)

Từ (1), (2)và (3) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-3a+b=1\\4a+b=8\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=4\end{cases}\left(4\right)}}\)

Thay (4) vào (3) ta được: \(P\left(x\right)=\left(x+3\right)\left(x-4\right)3x+x+4\)

Làm sao nhở!

Em tham khảo bài tương tự tại đây nhé.

Câu hỏi của Bạch Quốc Huy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Bó tay.gmail.com.vn

F(x) = ( x + 3 )( x - 4 ).3x + ax + b 

F(-3) = 1 => -3a + b = 1 => b = 1 + 3a 

F(4) = 8 => 4a + b = 8 thay b = 1 + 3a 

=> 7a + 1 = 8 => a =  1 => b = 1 + 3 = 4 

=> f(x) = ( x + 3 )( x - 4 ).3x + x + 4 

đến đây chỉ việc nhân ra thôi