Cho a,b,c thõa mãn a^2+b^2+c^2=3
Chứng minh rằng ab+bc+ca+a+b+c bé hơn hoặc bằng 6
Giúp mình với. Cảm ơn ạ <3
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn a2+b2+c2=3 . Chứng minh rằng : ab+bc+ca+a+b+c bé hơn hoặc bằng 6
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le9\Rightarrow a+b+c\le3\left(1\right)\)
Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\left(2\right)\)
Cộng vế với vế của\(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:
\(a+b+c+ab+bc+ca\le3+3=6\left(đpcm\right)\)
Cho a; b; c bé hơn hoặc bằng 1. CMR:
1 lớn hơn hoặc bằng a+b+c - (ab + bc + ca) + abc
Mình cần gấp, cảm ơn ạ 😙💋💕💦
Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng ab+bc+ca bé hơn hoặc bằng 0
Đề : ab + 4bc + ca \(\le\)0
Có : a + b + c = 0 => a = - b - c
Thay vào ab + 4bc + ca \(\le\)0 ta đc:
(-b - c).b + 4bc + c.(-b - c) \(\le\) 0
=> -b2 - bc + 4bc - bc - c2 \(\le\)0
=> -b2 - c2 + 2bc \(\le\)0
=> - (b2 - 2bc + c2) \(\le\) 0
=> -(b - c)2 \(\le\) 0 (luôn đúng)
Vậy ab + 4bc + ca \(\le\) 0
Cho a, b, c thỏa mãn: a+b+c=0. Chứng minh rằng: ab+bc+ca bé hơn hoặc bằng 0
Cho a,b,c thuộc R thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 chứng minh rằng: Q = \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\)bé hơn hoặc bằng 2
a) CMR:(x+a)*(x+b)*(x+c) = x3 + (a+b+c)*k + (ab+bc+ca)*x + abc
b) Áp dụng: (1+a)*(1+b)*(1+c) = ???
c) Cho a; b; c bé hơn hoặc bằng 1. CMR
1 lớn hơn hoặc bằng a + b + c - (ab+bc+ca) + abc
Đây là toán 8 nâng cao, các bạn giúp mình nhé! Cảm ơn ạ! 😙💕❤💋💦
Chứng minh rằng
a, a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2ab với mọi a , b
b, a^2 + b^2 =C^2 lớn hơn hoặ bằng ab + bc + ca với mọi a , b
c , a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng (a + b)^2 / 2 với mọi a , b
giải chi tiết giùm nha mình like cho
\(a^2+b^2=a^2-2ab+b^2+2ab=\left(a-b\right)^2+2ab\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+2ab\ge2ab\left(dpcm\right)\)
cho a,b,c là số thực lớn hơn 0 , thoả mãn : ab + bc + ca + abc =< 4 ( nhỏ hơn hoặc bằng 4 )
chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + a + b + c >= 2 ( ab + bc + ca )
Cho ba số dương a , b ,c thõa mãn ab+bc+ca=3
CMR: \(\frac{bc}{a^2\left(b+2c\right)}+\frac{ac}{b^2\left(c+2a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+2b\right)}\ge1\)
Giúp mình vs nha cảm ơn !!!
Ta có : \(3=ab+bc+ac\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Rightarrow1\ge abc\)
\(\frac{bc}{a^2\left(b+2c\right)}+\frac{ac}{b^2\left(c+2a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+2b\right)}\)
\(=\frac{\left(bc\right)^2}{abc\left(ab+2ac\right)}+\frac{\left(ac\right)^2}{abc\left(bc+2ab\right)}+\frac{\left(ab\right)^2}{abc\left(ca+2cb\right)}\)
\(\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{abc\left(3ab+3ac+3bc\right)}\)\(=\frac{3^2}{9abc}\)\(\ge1\)\(\left(dpcm\right)\)