Nhận xét: Ta có: A+B ,  A-B, B-A , -A-B có cùng tính chẵn lẻ

do đó: |A|+|B| có thể bằng A+B, A-B, -A-B, -A-B  và chúng có cùng tính chẵn lẻ với nhau

Do đó: |a-b|+|b-c|+|c+d|+|d+a| có cùng tính chẵn lẻ với a-b+b-c+c+d+d+a =2a+2d=2(a+d) là chẵn vì a, b, c, d nguyên

Mà đề bài |a-b|+|b-c|+|c+d|+|d+a|=2017 là lẻ  trái ngược với điều trên

=> không tồn tại a, b, c, d nguyên dương 

ta có : \(2b=a+c\Leftrightarrow b+b=a+c\Leftrightarrow b-a=c-b\)

           \(2c=b+d\Leftrightarrow c+c=b+d\Leftrightarrow c-b=d-c\)

          \(\Rightarrow b-a=d-c\)

vì \(a;b;c;d\inℤ\Rightarrow b-a;d-c\inℤ\)

đặt \(b-a=c-b=d-c=k\left(k\inℤ\right)\)

ta có : \(b-a=k\Rightarrow a=b-k\)

           \(c-b=k\Rightarrow c=k+b\)

           \(d-c=k\Rightarrow d=c+k\)

ta có : \(c^2\ge0\Rightarrow d^2\le c^2+d^2< 4\Rightarrow d^2< 4\)

mà \(d=c+k\Rightarrow\left(c+k\right)^2< 4\Rightarrow\left(k+b+k\right)^2< 4\)

\(\Rightarrow4\left(1+k\right)^2< 4\) ( vì \(b=2\) ) \(\Rightarrow\text{ }\left[2\left(1+k\right)\right]^2< 4\)

\(\Rightarrow4\left(1+k\right)^2< 4\Rightarrow\left(1+k\right)^2< 1\) mà \(\left(1+k\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow0\le\left(1+k\right)^2< 1\Rightarrow0\le1+k< 1\Rightarrow1+k=0\Rightarrow k=-1\)( vì \(k\inℤ\Rightarrow1+k\inℤ\) )

ta có \(c=k+b=-1+2=1\) ( vì \(b=2;k=-1\) )

\(\Rightarrow d=c+k=1+\left(-1\right)=0\) ( vì \(c=1;k=-1\) )

\(\Rightarrow a=b-k=2-\left(-1\right)=3\)

thử lại 

\(2b=a+c=2.2=3+1\Rightarrow4=4\) ( thỏa mãn )

\(2c-b+d=2.1=2+0\Rightarrow2=2\) ( thỏa mãn )

\(c^2+d^2< 4\Rightarrow1^2+0^2< 4\Rightarrow1< 4\) ( thỏa mãn )

vậy \(a=3\)

ta có : 2b = a + c⇔b + b = a + c⇔b − a = c − b
           2c = b + d⇔c + c = b + d⇔c − b = d − c
          ⇒b − a = d − c
vì a;b;c;d ∈ ℤ⇒b − a;d − c ∈ ℤ
đặt b − a = c − b = d − c = k k ∈ ℤ
ta có : b − a = k⇒a = b − k
           c − b = k⇒c = k + b
           d − c = k⇒d = c + k
ta có : c
2
≥ 0⇒d
2
≤ c
2
+ d
2
< 4⇒d
2
< 4
mà d = c + k⇒ c + k
2
< 4⇒ k + b + k
2
< 4
⇒4 1 + k
2
< 4 ( vì b = 2 ) ⇒ 2 1 + k
2
< 4
⇒4 1 + k
2
< 4⇒ 1 + k
2
< 1 mà  1 + k
2
≥ 0
⇒0 ≤ 1 + k
2
< 1⇒0 ≤ 1 + k < 1⇒1 + k = 0⇒k = −1( vì 
k ∈ ℤ⇒1 + k ∈ ℤ )
ta có c = k + b = −1 + 2 = 1 ( vì b = 2;k = −1 )
⇒d = c + k = 1 + −1

vậy a=3

|a-b|+|b-c|+|c+d|+|d+a| cùng tính chẵn lẻ với

|(a-b)+(b-c)+(c+d)-(d+a)| = |0| = 0

2017 lẻ => không tìm được giá trị a;b;c;d thỏa mãn

            ta có:

                       (a+ b+ c+ d)- ( a+c+d)=b

                    =>1-2

                    => -1

                    vậy b= -1

                        điền dần vào các số a, b, c, d ta có

                       a+(-1)+c+d =1

                   =>[a+(-1)+c+d]-a+b+c

                   => 1-4

                    => -3 => d=-3

giờ ta có:a+(-1)+c+(-3)=1

          =>[a+(-1)+c+(-3)]-a+b+d=c

          =>1-3 => c=-2

còn lại a+ (-1)+(-2)+(-3)=1

           => a=7

tích mk nhé