Vì p,q là 2 SNT >5

Suy ra p,q là số lẻ

Suy ra p,q chia hết cho 2

Suy ra p^4,q^4 chia hết cho 4

Suy ra p^4+2019q^4 chia hết cho 4 (1)

Mặt khác: Xét 5 TH 5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4

Suy ra p^4+2019q^4 chia hết cho 5 (2)

Mà (5;4)=1 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm

cảm ơn bn nhiều nha nhưng cách này mk làm r mk cần cách khac nhanh hơn

Lời giải:

$A=p^4+2019q^4=p^4-q^4+2020q^4$

$=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4$
Vì $p,q$ là số nguyên tố lớn hơn 5 nên $(p,5)=(q,5)=1$

$\Rightarrow p^2,q^2\equiv 1,4\pmod 5$

Nếu $p^2\equiv q^2\pmod 5$ thì $p^2-q^2\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A=(p^2-q^2)+2020q^4\equiv 0 \pmod 5(1)$

Nếu $p^2,q^2$ không cùng số dư khi chia cho $5$ thì:

$p^2+q^2\equiv 1+4\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A\equiv 0\pmod 5(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow A\vdots 5(*)$

Mặt khác:

Vì $p,q>5$ nên $p,q$ lẻ

$\Rightarrow p^2\equiv q^2\equiv 1\pmod 4$

$\Rightarrow p^2-q^2\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A=(p^2-q^2)(p^2+q^2)+2020q^4\equiv 0\pmod 4$

$\Rightarrow A\vdots 4(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots (4.5=20)$

Akai Haruma!(mod 5) và (mod 4) là j vậy 

Câu hỏi của Bùi Quang Vinh - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath fedg

1.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)1.p4−q4=p4−q4−1+1=(p4−1)−(q4−1)
lại có 240=8.2.3.5240=8.2.3.5
ta cần chứng minh (p4−1) ⋮ 240(p4−1) ⋮ 240 và (q4−1) ⋮ 240(q4−1) ⋮ 240
C/m: (p4−1) ⋮ 240(p4−1) ⋮ 240:
(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)(p4−1)=(p−1)(p+1)(p2+1)
vì pp là số nguyến tố lớn hơn 55 nên pp là số lẻ
⟹(p−1)(p+1)⟹(p−1)(p+1) là tích của 22 số lẻ liên tiếp nên chia hết cho 88 (1)(1)
Do p>5p>5 nên:
p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3p=3k+1→p−1=3k→p−1 ⋮ 3
hoặc p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3p=3k+2→p+1=3(k+1)→p+1 ⋮ 3 (2)(2)
mặt khác vì pp là số lẻ nên p2p2 là số lẻ →p2+1→p2+1 là số chẵn nên p2+1 ⋮ 2p2+1 ⋮ 2 (3)(3)
giờ cần chứng minh p4−1 ⋮ 5p4−1 ⋮ 5:
pp có thể có dạng:
p=5k+1→p−1 ⋮ 5p=5k+1→p−1 ⋮ 5
p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5p=5k+2→p2+1=25k2+20k+5→p2+1 ⋮ 5
p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5p=5k+3→p2+1=25k2+30k+10→p2+1 ⋮ 5
p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5p=5k+4→p+1=5k+5→p+1 ⋮ 5
p=5kp=5k mà pp là số nguyến tố nên k=1→p=5k=1→p=5 (ko thỏa mãn ĐK)
⟹p4−1 ⋮ 5⟹p4−1 ⋮ 5 (4)(4)
từ (1),(2),(3),(4)(1),(2),(3),(4), suy ra p4−1p4−1 chia hết cho 2.3.5.82.3.5.8 hay p4−1 ⋮ 240p4−1 ⋮ 240
chứng minh tương tự, ta có: q4−1 ⋮ 240q4−1 ⋮ 240
Kết luận.......................

p là số nguyên tố >5=>p lẻ ,p kochia hết cho 3=>p^4 chia 3 dư 1=>p-1 chia hết cho 3

p là nt   5=>p lẻ p^4-1 chia hết cho 16

p là NT 5=>p có số tận cùng là 1,3,7,9=>p^4 coa chữ số tận cùng là 1=>p^4 chia hết cho 10

p chia hết cho 3 ;10;16=> chia hết cho 240

click chữ xanh nha:Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

Đây thì chi tiết hơn:Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath

Chia hết cho 240  = 2⁴.3.5

p⁴ - q⁴ = (p² - q²)(p² + q²)

p;q cũng loại chẵn lẻ

Thì (p² - q²)(p² + q²) chia hết cho 16

p;q khác loại

Thì (p² - q²)(p² + q²) không chia hết cho 16 nhưng p;q là số nguyên tố lớn hơn 5 < = > loại

Nếu p;q cùng chia 3 dư 1 hoặc cùng chia 3 dư 2 thì

(p² - q²) chia hết cho 3 < = > Tích chia hết cho 3

Nếu p ; q có số dư khác nhau khi chia cho 3 (khác 0)

Thì p² - q² chia hết cho 3 < = ) Tích chia hết cho 3

p ; q chia 5 dư 1;2;3;4 

Do đó (p² - q²)(p² + q²) chia hết cho 5

Vậy (p² - q²)(p² + q²) chia hết cho 16.3.5 = 240

=> ĐPCM