help me với các bạn ơi !

ai giúp với

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x^2+(x+y)^2=(x+9)^2 - Đại số - Diễn đàn Toán học

dễ mà bn

https://olm.vn/hoi-dap/detail/221163930084.html

cậu tìm link này nhé . mình đã trả lời câu này cho 1 bạn r . 

học giỏi

6.6..6 - 6=?

đặt \(a=x^2,b=y^2\left(a,b\ge0\right)\)thì \(P=\frac{\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)

Zì \(a,b\ge0\)nên

\(\left(a-b\right)\left(1-ab\right)=a-a^2b-b+ab^2\le a+ab^2=a\left(1+b^2\right)\le a\left(1+2b+b^2\right)=a\left(1+b\right)^2\)

Lại có \(\left(1+a\right)^2=\left(1-a\right)^2+4a\ge4a\)

=>\(P\le\frac{a\left(1+b\right)^2}{4a\left(1+b\right)^2}=\frac{1}{4}\)

dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}}\)

zậy \(maxP=\frac{1}{4}khi\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}\)

*Đã hơn 3 ngày mà vẫn chưa có lời giải :(

\(ĐK:x\ne0;y\ne0\)

Với pt(1) : Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t^2=\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

Mặt khác : \(\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)^2=\left(t^2-2\right)^2\Rightarrow\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}+2=t^4-4t^2+4\)

Từ đó \(\frac{x^4}{y^4}+\frac{y^4}{x^4}=t^4-4t^2+2\)

Theo AM_GM có \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\Leftrightarrow t^2\ge4\Leftrightarrow|t|\ge2\)

Ta có VT của pt (1) : \(g\left(t\right)=t^4-5t^2+t+4,|t|\ge2\)

Có \(g'\left(t\right)=2t\left(2t^2-5\right)+1\)

Nhận xét :

+ \(t\ge2\Rightarrow2t\left(2t^2-5\right)\ge4\left(8-5\right)>0\Rightarrow g'\left(t\right)>0\)

+ \(t\le-2\Rightarrow2t\le-4;2t^2-5\ge3\Rightarrow-2t\left(2t^2-5\right)\ge12\Rightarrow2t\left(2t^2-5\right)\le-12\Rightarrow g'\left(t\right)< 0\)

Lập BBT có giá trị nhỏ nhất của g(t)= -2 đạt được tại t= -2 

Vậy từ pt(1) có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=-2\left(.\right)\)

Đặt  \(a=\frac{x}{y}\Rightarrow\frac{y}{x}=\frac{1}{a},a\ne0\)

Lúc đó pt (.) \(\Leftrightarrow a+\frac{1}{a}=-2\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2=0\Leftrightarrow a=-1\Leftrightarrow x=-y\)

Thay \(x=-y\)vào pt(2) có :

\(x^6+x^2-8x+6=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^4+2x^3+3x^2+4x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left[x^2\left(x+1\right)^2+2\left(x+1\right)^2+4\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}}\)

Vậy HPT có duy nhất 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;-1\right)\)

Em lớp 7 anh(chị) ạ