Cho \(a=\frac{x^n-\frac{1}{x^n}}{x^n+\frac{1}{X^n}}\)
Hãy biểu diễn phân số sau theo a :
\(\frac{x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}}{x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}}\)
CMR: với \(y=\frac{x^n+\frac{1}{x^n}}{x^n-\frac{1}{x^n}}\)thì \(\frac{x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}}{x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}}=\frac{y^2+1}{2y}\)
Chứng minh rằng nếu \(y=\frac{x^n+\frac{1}{x^n}}{x^n-\frac{1}{x^n}}\) thì \(\frac{x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}}{x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}}=\frac{y^2+1}{2y}\)
\(y=\frac{x^n+\frac{1}{x^n}}{x^n-\frac{1}{x^n}}=\frac{x^{2n}+1}{x^{2n}-1}\)
Xét \(y^2+1=\left(\frac{x^{2n}+1}{x^{2n}-1}\right)^2+1=\frac{x^{4n}+2x^{2n}+1}{x^{4n}-2x^{2n}+1}+1=\frac{2\left(x^{4n}+2\right)}{x^{4n}-2x^{2n}+1}\)
\(\Rightarrow\frac{y^2+1}{2y}=\frac{2\left(x^{4n}+1\right)}{x^{4n}-2x^{2n}+1}.\frac{x^{2n}-1}{2\left(x^{2n}+1\right)}=\frac{x^{4n}+1}{\left(x^{2n}-1\right)^2}.\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}=\frac{x^{4n}+1}{x^{4n}-1}=\frac{\frac{x^{4n}+1}{x^{2n}}}{\frac{x^{4n}-1}{x^{2n}}}=\frac{x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}}{x^{2n}-\frac{1}{x^{2n}}}\)
Bạn thêm điều kiện x khác 0 nữa nhé
Cho các số thực a, b, x, y thõa mãn: \(x^2+y^2=1;\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\)
Chứng minh \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=\frac{2}{\left(a+b\right)^n},\forall n\in N\)
áp dụng bđt svacxơ, ta có
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
dấu = xảy ra <=>\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)
nên \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
,mặt khác, ta có \(\frac{2}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{1}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(x^2+y^2\right)^n}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(2.x^2\right)^n}{\left(2.a\right)^n}=2.\frac{2^2.x^{2n}}{2^2.a^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
từ 2 điều trên => \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=\frac{2}{\left(a+b\right)^n}\)
cho\(\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}\)= m với mọi n thuộc N*
tính P=\(\frac{x^{2n}-x^{-2n}}{x^{2n}+x^{-2n}}\)theo m
ta có
1+m = \(\frac{2x^n}{x^n+\frac{1}{x^n}}\), 1-m = \(\frac{2}{x^n\left(x^n+\frac{1}{x^x}\right)}\)
=> \(\frac{1+m}{1-m}\)= x2n
do đó P = \(\frac{\frac{1+m}{1-m}-\frac{1-m}{1+m}}{\frac{1+m}{1-m}+\frac{1-m}{1+m}}\)= \(\frac{\left(1+m\right)^2-\left(1-m\right)^2}{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}\). \(\frac{\left(1-m\right)\left(1+m\right)}{\left(1+m\right)^2+\left(1-m\right)^2}\)
= \(\frac{2m}{1+m^2}\)
Đặt x 2n = a ta có
\(\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}=\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1}=\frac{a-1}{a+1}=m\)
\(\Leftrightarrow a-1=m\left(a+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-m\right)=1+m\)
\(\Leftrightarrow a=\frac{1+m}{1-m}\)
Ta lại có
\(\frac{x^{2n}-x^{-2n}}{x^{2n}+x^{-2n}}=\frac{x^{4n}-1}{1+x^{4n}}=\frac{a^2-1}{1+a^2}\)
Tới đây thì e chỉ cần thế vô rồi rút gọn là ra nhé
\(\Leftrightarrow!m!< 1\)
\(\frac{x^n-x^{-n}}{x^n+x^{-n}}=\frac{\left(x^{2n}-1\right)}{\left(x^{2n}+1\right)}=x^{2n}=\frac{m+1}{1-m}=>x^2=\sqrt[n]{\frac{m+1}{1-m}}\)
\(P=\frac{x^{4n}-1}{x^{4n}+1}=\frac{\left(\frac{m+1}{1-m}\right)^2-1}{\left(\frac{m+1}{1-m}\right)^2+1}=\frac{\left(m+1\right)^2-\left(1-m\right)^2}{\left(m+1\right)^2+\left(1-m\right)^2}=\frac{2m}{m^2+1}\\ \)
Tìm x sao cho:
\(\frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}}\)=49 ( n thuộc N)
\(\frac{x^{2n+1}}{x^{2n-1}}=\frac{x^{2n-1}.x^2}{x^{2n-1}}=x^2=49\Rightarrow x=7\)
\(\sin^3\frac{x}{3}+3\sin^3\frac{x}{3^2}+...+3^{n-1}\sin^3\frac{x}{3}=\frac{1}{4}\left(3^n\sin^3\frac{x}{3^n}-\sin x\right)\)\(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{2n+1}{2n+2}<\frac{1}{\sqrt{3n+4}}\left(n\ge1\right)\)\(\left(n!\right)^2\ge n^2\ge\left(n+1\right)^{n-1}cho\left(n\ge1\right)\)1. tìm x thuộc z:
\(\frac{x-2}{15}=\frac{9}{5}\) \(\frac{2-x}{16}=\frac{-4}{x-2}\)
Tìm số nguyên n để phân số \(\frac{2n+5}{3n+7}\)tối giản voi n thuộc N*
Tìm số nguyên n để phân số \(\frac{14}{2n+1}\) rút gon đc
#)Giải :
1.
\(\frac{x-2}{15}=\frac{9}{5}\Leftrightarrow x-2=\frac{9}{5}.15=27\Leftrightarrow x=29\)
\(\frac{2-x}{16}=\frac{-4}{x-2}\Leftrightarrow2-2x-2=\left(-4\right).16=-64\Leftrightarrow x\left(2-2\right)=-64\Leftrightarrow x.0=64\)
P/s : Câu thứ hai cứ sao sao ý
a) x - 2/15 = 95
<=> 15.(x - 2)/15 = 9.15/5
<=> x - 2 = 27
<=> x = 27 + 2
<=> x = 29
=> x = 29
b) 2 - x/16 = -4/x - 2
<=> (2 - x)(x - 2) = (-4).16
<=> -x2 + 4x - 4 = -64
<=> -x2 + 4x - 4 - (-64) = 0
<=> -x2 + 4x - 4 + 60 = 0
<=> (-x - 6)(x - 10) = 0
-x - 6 = 0 hoặc x - 10 = 0
-x = 0 + 6 x = 0 + 10
-x = 6 x = 10
x = -6
=> x = -6 hoặc x = 10
a) Hãy chỉ ra một số thực x mà x - \(\frac{1}{x}\) là số nguyên (x ≠ + - 1 )
b) Cmr nếu x - \(\frac{1}{x}\) là số nguyên và (x ≠ + - 1 ) thì x và x + \(\frac{1}{x}\) là số vô tỉ. Khi đó (x+\(\frac{1}{x}\))^2n và (x+\(\frac{1}{x}\))^2n+1 là số hữu tỉ hay số vô tỉ ?
Bài 1 : Chứng tỏ rằng các phân số sau tối giản với mọi 1 số tự nhiên n
a. \(\frac{n+1}{2n+3}\) b. \(\frac{2n+3}{4n+8}\) c. \(\frac{2n+1}{3n+2}\)
Bài 2: Cho A=\(\frac{n+2}{n-5}\) (n\(\in\) Z ; n\(\ne\)5). Tìm n để A \(\in\) Z
Bài 3: so sánh các phân số sau
a. A=\(\frac{54.107-53}{53.107+54}\)và B=\(\frac{135.269-133}{134.269+135}\)
b. A=\(\frac{3^{10}+1}{3^9+1}\)và B=\(\frac{3^9+1}{3^8+1}\)
Bài 4 :với giá trị nào của x \(\in\)Z các phân số sau có giá trị là 1 số nguyên
a. A=\(\frac{3}{x-1}\) b. B=\(\frac{x-2}{x+3}\) c. C = \(\frac{2x+1}{x-3}\) d. D=\(\frac{x^2-1}{x+1}\)
a) ta có:
\(\frac{n+1}{2n+3}\)là phân số tối giản thì:
\(\left(n+1;2n+3\right)=d\)
Điều Kiện;d thuộc N, d>0
=>\(\hept{\begin{cases}2n+3:d\\n+1:d\end{cases}}=>\hept{\begin{cases}2n+3:d\\2n+2:d\end{cases}}\)
=>2n+3-(2n+2):d
2n+3-2n-2:d
hay 1:d
=>d=1
Vỵ d=1 thì.....
Bài 2 :
Để A = (n+2) : (n-5) là số nguyên thì n+2 phải chia hết cho n-5
Mà n-5 chia hết cho n-5
=> (n+2) - (n-5) chia hết cho n-5
=> (n-n) + (2+5) chia hết cho n-5
=> 7 chia hết cho n-5
=> n-5 thuộc Ư(5) = { 1 : -1 ; 7 ; -7 }
Ta có bảng giá trị
n-5 | 1 | -1 | 7 | -7 |
n | 6 | 4 | 12 | -2 |
A | 8 | -6 | 2 | 0 |
KL | TMĐK | TMĐK | TMĐK | TMĐK |
Vậy với n thuộc { -2 ; 4 ; 6 ; 12 } thì A là số nguyên
Bài 4:
a) Để A có giá tị là một số nguyên thì:
3 phải chia hết cho x - 1
=> x - 1 thuộc Ư(3)
=> x - 1 thuộc {-1 ; -3 ; 1 ; 3 }
x thuộc { 0 ; -2 ; 2 ; 4 }
=> A là 1 phân số tối giản
b) Để B là một số nguyên thì:
x - 2chia hết cho x + 3
<=> (x + 3) - 5:x + 3
ta thấy: x+ 3cha hết cho x+ 3
=> 5 phải hia hêts cho x= 3
=> x + 3 thuộc Ư(5)
x + 3 thuộc{ 1 ; -1 ; 5; -5 }
x thuộc{-2 ; -4 ; 2 ; -8 }