Đề : ab + 4bc + ca \(\le\)0 

Có : a + b + c = 0 => a = - b - c

Thay vào ab + 4bc + ca \(\le\)0 ta đc:

(-b - c).b + 4bc + c.(-b - c) \(\le\) 0

=> -b² - bc + 4bc - bc - c² \(\le\)0

=> -b² - c² + 2bc \(\le\)0

=> - (b² - 2bc + c²) \(\le\) 0

=> -(b - c)² \(\le\) 0 (luôn đúng)

Vậy ab + 4bc + ca  \(\le\) 0

Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)

Mà  \(a^2+b^2+c^2\ge0\)nên \(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ac\le0\left(đpcm\right)\)

Ta có : a + b + c = 0

\( \implies\) b + c = - a ; a + b = - c 

Ta có : ab + 2bc + 3ca 

= ab + 2bc + ca + 2ca 

= ( ab + ca ) + ( 2bc + 2ca )

= a ( b + c ) + 2c ( a + b )

= a ( - a ) + 2c ( - c ) 

= - a² - 2c² 

= - ( a² + 2c² ) ( * )

Mà : a² \(\geq\)  0 ; 2c² \(\geq\)  0 

\( \implies\)  a² + 2c² \(\geq\)  0 ( ** )

Từ ( * ) ; ( ** ) 

\( \implies\)  - ( a² + 2c² )  \(\leq\)  0 

\( \implies\) ab + 2bc + 3ca  \(\leq\)  0 

Xin lỗi mình đăng nhầm 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le9\Rightarrow a+b+c\le3\left(1\right)\)

Ta có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\left(2\right)\)

Cộng vế với vế của\(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:

\(a+b+c+ab+bc+ca\le3+3=6\left(đpcm\right)\)

a+b+c=0

<=>(a+b+c)^2=0

<=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=0

Mà a^2+b^2+c^2>=0 với mọi a,b,c

=>ab+bc+ca<=0 với mọi a,b,c.

Dấu "="xảy ra<=>a=b=c=0.

Từ a+b+c=0 =>c=-a-b.thay vào có: 
ab+bc+ca= ab-(a+b)^2= -(a^2+ab+b^2)= -1/2[(a+b)^2+a^2+b^2)] 
vì (a+b)^2>=0, a^2>=0,b^2>=0 nên biểu thức này luôn luôn =<0. Dấu = xảy ra khi a=b=c=0.