Gọi UCLN của 10n+9 và 15n+14 là d
Ta có
\(10n+9⋮d;15n+15⋮d\)
\(\Rightarrow2\left(15n+14\right)-3\left(10n+9\right)=\left(30n+28\right)-\left(30n+27\right)=1⋮d\)
Vậy d=1 nên 10n+9 và 15n+14 nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\frac{10n+9}{15n+14}\)là phân số tối giản

có j thắc mắc ib mk nhé

Gọi d là ƯCLN của 10n + 1 và 15n + 2 ( d \(\in\)N* ) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+1⋮d\\15n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(10n+1\right)⋮d\\2\left(15n+2\right)⋮d\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}30n+3⋮d\\30n+4⋮d\end{cases}\Rightarrow\left(30n+4\right)-\left(30n+3\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{10n+1}{15n+2}\)là p/s tối giải.

Đặt \(\left(10n+9;15n+14\right)=d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+9⋮d\\15n+14⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3.\left(10n+9\right)⋮d\\2.\left(15n+14\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}30n+27⋮d\\30n+28⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(30n+28\right)-\left(30n+27\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

\(\Rightarrow\frac{10n+9}{15n+14}\)là phân số tối giản với mọi n thuojc N

gọi d là ƯC(10n + 9; 15n + 14) 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+9⋮d\\15n+14⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(10n+9\right)⋮d\\2\left(15n+14\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}30n+27⋮d\\30n+28⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow30n+28-\left(30n+27\right)⋮d\)

\(\Rightarrow30n+28-30n-27⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=\pm1\)

Vậy \(\frac{10n+9}{15n+14}\) là phân số tối giản với mọi n tự nhiên

Gọi ƯCLN(10n + 9 ; 15n + 14) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+9⋮d\\15n+14⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3.\left(10n+9\right)⋮d\\2.\left(15n+14\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}30n+27⋮d\\30n+28⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(30n+28\right)-\left(30+27\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{10n+9}{15n+14}\)là phân số tối giản với \(\forall n\inℕ\)(đpcm)

Gọi ƯCLN ( 4n + 3 ; 10n + 7 ) = d \(\left(d\inℕ^∗\right)\)

Ta có : \(4n+3⋮d\Rightarrow20n+15⋮d\)(1) 

\(10n+7⋮d\Rightarrow20n+14⋮d\)(2)

Lấy (1) - (2) ta được : \(20n+15-20n-14⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

Gọi \(ƯCLN\left(4n+3;10n+7\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}4n+3⋮d\\10n+7⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(4n+3\right)⋮d\\2\left(10n+7\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}20n+15⋮d\\20n+14⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(20n+15\right)-\left(20n+14\right)⋮d\)

\(\Rightarrow20n+15-20n-14⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)(vì \(d\inℕ^∗\))

Do đó \(ƯCLN\left(4n+3;10n+7\right)=1\)

\(\Rightarrow\frac{4n+3}{10n+7}\)là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n (điều phải chứng minh).

Tổng quát :  \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản \(\LeftrightarrowƯCLN\left(a;b\right)=1\)(tức là 2 số a và b nguyên tố cùng nhau).

Gọi d=ƯCLN(4n+3;10n+7)

\(\Rightarrow\)4n+3\(⋮\)d và 10n+7\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)(4n+3).5\(⋮\)d và (10n+7).2\(⋮\)d

hay 20n+15\(⋮\)d và 20n+14\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)\([\)(20n+15)-(20n+14)\(]\)\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1=d

Vậy \(\frac{4n+3}{10n+7}\)là phân số tối giản.

Gọi d là UCLN (10n+1,15n+2)

\(\Leftrightarrow10n+1⋮d;15n+2⋮d\)

\(\Leftrightarrow3\left(10n+1\right)⋮d;2\left(15n+2\right)⋮d\)

\(\Leftrightarrow30n+3⋮d;30n+4⋮d\)

\(\Leftrightarrow\left(30n+4\right)-\left(30n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\frac{10n+1}{15n+2}\) là phân số tối giản

\(\RightarrowĐFCM\)

Với n nguyên : 

( 10n + 1 ; 15 n + 2 ) = ( 10n + 1; ( 15n +  2 ) - ( 10 n + 1) ) = ( 10n + 1; 5n + 1 ) = ( 5n + 1 ; 5n ) = ( 5n ; 1 ) = 1 

=> 10n + 1 và 15n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau với n nguyên 

=> 10n + 1/ 15n + 2 là phân số tối giản. 

1)

gọi ƯC(3n-2,4n-3) là d

=>\(\hept{\begin{cases}3n-2⋮d\\4n-3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n-8⋮d\\12n-9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(12n-8\right)-\left(12n-9\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1;-1\)

=>ƯC(3n-2,4n-3)={1;-1}

=>\(\frac{3n-2}{4n-3}\)là p/số tối giản

vậy...

Chứng minh\(\frac{10n+1}{15n+2}\)là phân số tối giản 

Gọi d = ƯCLN(10n + 1 ; 15n + 2 )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+1⋮d\\15n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(10n+1\right)⋮d\\2\left(15n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}30n+3⋮d\\30n+4⋮d\end{cases}}}\)

=> ( 30n + 4 ) - ( 30n + 3 ) chia hết cho d

=> 30n + 4 - 30n - 3 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d 

=> d = 1

=> ƯCLN(10n + 1 ; 15n + 2) = 1

=> \(\frac{10n+1}{15n+2}\)là phân số tối giản ( đpcm )

Gọi d=ƯCLN(3n+1;4n+1)

\(\Rightarrow\)3n+1 \(⋮\)d và 4n+1\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)(3n+1).4\(⋮\)d và (4n+1).3\(⋮\)d

hay 12n+4\(⋮\)d và 12n+3 \(⋮\)d

\(\Rightarrow\)\([\)(12n+4)-(12n+3)\(]\)\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1=d

Vậy \(\frac{3n+1}{4n+1}\)là phân số tối giản.

Phần còn lại làm tương tự nha bạn.

Tiếp theo bài giải của bạn Nguyễn Thanh Hằng

\(2n+1⋮d\\ \Rightarrow5n\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow10n^2+5n⋮d\Rightarrow\left(10n^2+9n+4\right)-\left(10n^2+5n\right)⋮d\\ \Rightarrow4n+4⋮d\Rightarrow4.\left(n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow n+1⋮d\)

Vì d lẻ do 2n+1 chia hết cho d

\(\Rightarrow2n+2⋮d\\ \Rightarrow\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)⋮d\\ \Rightarrow1⋮\left(đpcm\right)\)

Gọi \(d=ƯCLN\left(10n^2+9n+4;20n^2+20n+9\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10n^2+9n+4⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}20n^2+18n+8⋮d\\20n^2+20n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2n+1⋮d\)

đên đây thì bí