Bài 1: Cho đường tròn tâm (O) dây AB cố định ( O không thuộc AB). P là điểm di động trên AB(P khác A và B). Qua A, P vẽ đường tròn tâm C tiếp xúc với đường tròn tâm (O) tại A. Qua B,P vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (khác P).
a) Chứng minh góc ANP = góc BNP
b) Chứng minh góc PNO = 90 độ
Bài 2: Cho tam giác ABC có goác A= 60 độ, AB<AC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE=AB. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, AE. Tính góc AQP
qua A,P vẽ đương tron tâm C là như thế nào vậy bạn
Cho đường tròn tâm O và dây BC không đi qua O. Điểm A chuyển động rên cung lớn . Vẽ đường tròn tâm I đi qua điểm B và tiếp xúc với AC tại A. Vẽ đường tròn tâm K đi qua điểm C và tiếp xúc với AB tại A.CMR:
a) 4 điểm B,D,O,C cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Đường thẳng AD luôn đi qua 1 điểm cố định.
a) Ta có đuờng tròn (I) tiếp xúc với AC tại A, theo tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây thì ^DAC = ^DBA
Tuơng tự ^DAB = ^DCA. Do đó ^BDC = ^DAB + ^DAC + ^DBA + ^DCA = 2(^DAB + ^DAC) = 2.^BAC = ^BOC
Suy ra 4 điểm B,D,O,C cùng thuộc một đuờng tròn theo quỹ tích cung chứa góc (đpcm).
b) Gọi đuờng thẳng AD cắt đường tròn đi qua 4 điểm B,O,D,C tại S khác D. Ta sẽ chỉ ra S cố định.
Thật vậy, gọi Dx là tia đối của tia DB. Ta có ^ODC = ^OBC = ^OCB = ^ODx => DO là phân giác ^CDx
Ta thấy hai đuờng tròn (O) và (I) cắt nhau tại A và B nên OI vuông góc AB
Mà AK vuông góc với AB (vì (K) tiếp xúc AB tại A) nên OI // AK. Tuơng tự OK // AI
Từ đây tứ giác AIOK là hình bình hành => IK chia đôi OA. Cũng dễ thấy IK là trung trực của AD
Theo đó IK chứa đuờng trung bình của \(\Delta\)AOD => IK // OD. Mà IK vuông góc AD nên OD vuông góc AD
Kết hợp với OD là phân giác của ^CDx => AD là phân giác của ^BDC (do ^CDx và ^BDC bù nhau)
Hay DS là phân giác của ^BDC. Lại có ^BDC là góc nội tiếp đuờng tròn đi qua B,D,O,C
=> S là điểm chính giữa (BC không chứa O của đuờng tròn (BOC)
Vì B,O,C cố định nên điểm chính giữa (BC không chứa O của (BOC) cố định => S cố định
Vậy AD luôn đi qua S cố định (đpcm).
cho tam giác ABCnội tiếp đường tròn tâm o,AB<ACgọi M là một điểm di động trên cạnh BC vẽ đường tròn tâm P đi qua B và M và tiếp xúc với AB vẽ đường tròn tâm Q đi qua C và M và tiếp xúc với AChai đường tròn P và Q cắt nhau tại điểm thứ 2 là N
a)điểm N thuộc đường tròn (Q)
b)BP và CQ cắt nhau tại điểm D cố định
cho đường tròn O bán kính R, dây AB cố định. Điểm M thuộc cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của dây AB. Vẽ đường tròn tâm O' qua M tiếp xúc với AB tại A. Tia MI cắt đường tròn tâm o' tại N và cắt đường tròn tâm O tại C. cm NA song sonh với BC?
Cho đường tròn tâm O và dây AB cố định, điểm M tùy ý thay đổi trên đoạn AB. Qua A và M dựng đường tròn tâm I tiếp xúc đường tròn tâm O tại A. Qua B và M dựng đường tròn tâm J tiếp xúc đường tròn tâm O tại B. 2 đường tròn tâm I và đường tròn tâm J cắt nhau tại điểm thứ 2 là N. CMR MN luôn đi qua 1 điểm cố định
cho đường tròn O bán kính R, dây AB cố định. Điểm M thuộc cung lớn AB. Gọi I là trung điểm của dây AB. Vẽ đường tròn tâm O' qua M tiếp xúc với AB tại A. Tia MI cắt đường tròn tâm o' tại N và cắt đường tròn tâm O tại C. cm NA song sonh với BC?
Xét (O'): \(O'A\perp AB\) tại A và O'A là bán kính.
\(\Rightarrow\)AB là tiếp tuyến của (O') tại A.
\(\Rightarrow\widehat{NAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN.
Mặt khác \(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN.
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{NAB}\left(1\right)\)
Xét (O): \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\right)\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{ABC}\) nên AN//BC.
Cho đường tròn ( O) và dây AB cố định, điểm M tuỳ ý thay đổi trên đoạn thẳng AB. Qua A, M dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Quan B, M dựng đường tròn tâm J tiếp xúc với (O) tại B. Hai đường tròn tâm I và tâm J cắt nhau tại điểm thứ hai là N. C/m MN luôn đi qua một điểm cố định.
Cho tam giác ABc , lấy D trên cạnh BC , vẽ đường tròn tâm I qua D tiếp xúc với AB tại B. Vẽ đường tròn tâm K qua D tiếp xúc với AC tại C . Gọi M là giao điểm của hai đường tròn đó
1. CM : tứ giác ABMC nội tiếp
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . CM : 3 đường tròn tâm I, tâm K và tâm O đồng quy
3. CM : MD di chuyển qua 1 điểm cố định
Cho đường tròn ( O) và dây AB cố định, điểm M tuỳ ý thay đổi trên đoạn thẳng AB. Qua A, M dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Quan B, M dựng đường tròn tâm J tiếp xúc với (O) tại B. Hai đường tròn tâm I và tâm J cắt nhau tại điểm thứ hai là N. C/m
a)MN luôn đi qua một điểm cố định.
b)khi M chạy trên đoạn AB thì N chạy trên đoạn nào
a) Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C.CM cắt (I) tại N'
Xét \(\Delta CAM\) và \(\Delta CN'A:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACN'chung\\\angle CAM=\angle CN'A\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta CAM\sim\Delta CN'A\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CA}{CN'}=\dfrac{CM}{CA}\Rightarrow CA^2=CM.CN'\)
mà \(CA^2=CB^2\Rightarrow CB^2=CM.CN'\Rightarrow\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\)
Xét \(\Delta CBM\) và \(\Delta CN'B:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCN'chung\\\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta CBM\sim\Delta CN'B\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle CBB=\angle CN'B\Rightarrow N'\in\left(J\right)\)
\(\Rightarrow N\equiv N'\Rightarrow MN\) luôn đi qua điểm C mà A,B cố định
\(\Rightarrow C\) cố định \(\Rightarrow\) đpcm
b) mình chỉ chứng minh được N thuộc 1 đường tròn cố định thôi,còn chạy trên đoạn thẳng hình như là ko được
Ta có: \(\angle ANB=\angle ANM+\angle BNM=\dfrac{1}{2}\angle AIM+\dfrac{1}{2}\angle BJM\)
Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta AOB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OABchung\\\dfrac{IA}{OA}=\dfrac{IM}{OB}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AIM\sim\Delta AOB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AIM=\angle AOB\)
Tương tự \(\Rightarrow\angle BJM=\angle AOB\)
\(\Rightarrow\angle ANB=\dfrac{1}{2}\angle AOB+\dfrac{1}{2}\angle AOB=\angle AOB\)
\(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) mà A,O,B cố định \(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) cố định
