Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

Ta lại có: 

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)

Thế vào N ta được

\(N=\frac{a^{2015}+b^{2015}+c^{2015}}{\left(a+b+c\right)^{2015}}=\frac{3a^{2015}}{3^{2015}.a^{2015}}=\frac{1}{a^{2014}}\)

\(B=\left(\frac{1}{2}\right)^{2015}.\left(\frac{2}{3}\right)^{2016}.\left(-3\right)^{2015}\)

\(B=\left(-3\right)^{2015}.\left(\frac{2}{3}\right)^{2016}.\frac{1}{2^{2015}}\)

\(B=\left(-3\right)^{2015}.\frac{1}{2^{2015}}.\frac{2^{2016}}{3^{2016}}\)

\(B=\left(-3^{2015}\right).\frac{1}{2^{2015}}.\frac{2^{2016}}{3^{2016}}\)

\(B=-\frac{1}{2^{2015}}.\frac{2^{2016}}{3^{2016}}.3^{2015}\)

\(B=-\frac{1.2^{2016}.3^{2015}}{2^{2015}.3^{2016}}\)

\(B=-\frac{2^{2016}.3^{2015}}{3^{2016}.2^{2015}}\)

\(B=\frac{3^{2015}.2}{3^{2016}}\)

\(B=-\frac{2}{3}\)

áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2015 số , ta có

\(2x^{2015}+2013=x^{2015}+x^{2015}+1+1+..+1\ge2015\sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}}=2015x^2\)

tương tự ta có

\(\hept{\begin{cases}2.y^{2015}+2013\ge2015y^2\\2.z^{2015}+2013\ge2015z^2\end{cases}}\)

cộng ba bất đẳng thức lại ta có \(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

hay \(2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2.3+2013.3=2015.3\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

1+2+3+4+...+2015

=(2015+1).2015:2

=2 031 120

\(\text{Số số hạng của biểu thức trên là:}\)

      \(\text{ (2015 - 1) : 1 + 1 = 2015(số)}\)

Dựa vào công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp ta có

1+2+3+4+...+2015=2015.(2015+1):2

=2015.2016:2

=2015.1008

=2031120

= x^10 - (x+1)*x^9 + (x+1)*x^8 - (x+1)*x^7 +.... - (x+1) +2015

= x^10 - x^10 - x^9 + x^9 + x^8 - x^8 - x^7+.... - x - 1 +2015

= 2014