Gọi giao điểm AC và BD là I

Pytago lần lượt vào các tam giác vuông AIB;BIC;CID;AID ta được :

\(AB^2=AI^2+BI^2\)

\(BC^2=BI^2+CI^2\)

\(CD^2=DI^2+CI^2\)

\(AD^2=DI^2+CI^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AB^2+DC^2=AI^2+BI^2+CI^2+DI^2\\BC^2+AD^2=AI^2+BI^2+CI^2+DI^2\end{cases}}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

\(AD^2=AI^2+ID^2\)nha 

-.- mơ ngủ tẹo :v

~~

THEO ĐỊNH LÝ PYTAGO TA CÓ 

XÉT \(\Delta BAO\)CÓ \(AB^2=OA^2+OB^2\left(1\right)\)

XÉT \(\Delta BOC\)CÓ\(BC^2=OC^2+OB^2\left(2\right)\)

TƯƠNG TỰ XÉT 2 TAM GIÁC CÒN  LẠI TA CÓ \(AD^2=DA^2+OD^2\left(3\right);CD^2=OC^2+OD^2\left(4\right)\)

CỘNG VẾ 1 VÀ 4 TA CÓ \(AB^2+DC^2=OA^2+CB^2+OC^2+OD^2\left(5\right)\)

CỘNG VẾ 2VÀ 3 TA CÓ \(AD^2+BC^2=OA^2+OD^2+OC^2+OB^2\)

ggggggggggggggggggg

Mình nghĩ khó mà có người giải hết chỗ bài tập đấy của bạn, nhiều quá

3/ (Bạn tự vẽ hình giùm)

a/ \(\Delta ABC\)và \(\Delta ADC\)có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

Cạnh AC chung

\(\widehat{CAD}=\widehat{ACB}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\)(g. c. g)

=> AD = BC (hai cạnh tương ứng)

và AB = DC (hai cạnh tương ứng)

b/ Ta có AD = BC (cm câu a)

và \(AN=\frac{1}{2}AD\)(N là trung điểm AD)

và \(MC=\frac{1}{2}BC\)(M là trung điểm BC)

=> AN = MC

Chứng minh tương tự, ta cũng có: BM = ND

\(\Delta AMB\)và \(\Delta CND\)có:

BM = ND (cmt)

\(\widehat{ABM}=\widehat{NDC}\)(AB // CD; ở vị trí so le trong)

AB = CD (\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\Delta AMB\)= \(\Delta CND\)(c. g. c)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{NCD}\)(hai góc tương ứng)

và \(\widehat{BAC}=\widehat{ACN}\)(\(\Delta ABC\)= \(\Delta ADC\))

=> \(\widehat{BAC}-\widehat{BAM}=\widehat{ACN}-\widehat{NCD}\)

=> \(\widehat{MAC}=\widehat{ACN}\)(1)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(\widehat{AMC}=\widehat{ANC}\)(2)

và AN = MC (cmt) (3)

=> \(\Delta MAC=\Delta NAC\)(g, c. g)

=> AM = CN (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c/ \(\Delta AOB\)và \(\Delta COD\)có:

\(\widehat{BAO}=\widehat{OCD}\)(AB // DC; ở vị trí so le trong)

AB = CD (cm câu a)

\(\widehat{ABO}=\widehat{ODC}\)(AD // BC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta AOB\)= \(\Delta COD\)(g. c. g)

=> OA = OC (hai cạnh tương ứng)

và OB = OD (hai cạnh tương ứng)

d/ \(\Delta ONA\)và \(\Delta MOC\)có:

\(\widehat{AON}=\widehat{MOC}\)(đối đỉnh)

OA = OC (O là trung điểm AC)

\(\widehat{OAN}=\widehat{OCM}\)(AM // NC; ở vị trí so le trong)

=> \(\Delta ONA\)= \(\Delta MOC\)(g. c. g)

=> ON = OM (hai cạnh tương ứng)

=> O là trung điểm MN

=> M, O, N thẳng hàng (đpcm)

gggggggggggggggggggggggggggggg