1) 

Đặt \(f\left(x\right)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.\)( a khác 0 )

Ta có:

\(f\left(1\right)=a+b+c+d+e=0\)                                            (1)

\(f\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=0\)                              (2)

\(f\left(3\right)=81a+27b+9c+3d+e=0\)                           (3)

\(f\left(4\right)=256a+64b+16c+4d+e=6\)                      (4)

\(f\left(5\right)=625a+125b+25c+5d+e=72\)                (5)

\(A=f\left(2\right)-f\left(1\right)=15a+7b+3c+d=0\)

\(B=f\left(3\right)-f\left(2\right)=65a+19b+5c+d=0\)

\(C=f\left(4\right)-f\left(3\right)=175a+37b+7c+d=6\)

\(D=f\left(5\right)-f\left(4\right)=369a+61b+9c+d=72-6=66\)

\(E=B-A=50a+12b+2c=0\)

\(F=C-B=110a+18b+2c=6\)

\(G=D-C=194a+24b+2c=66-6=60\)

Tiếp tục lấy H=F-E; K=G-F; M=H-K

Ta tìm được a

Thay vào tìm được b,c,d,e

1. gọi đa thức cần tìm là f(x) =a.x^4+b.x^3+c.x^2+dx+e

có f(1)=f(2)=f(3) = 0 nên x=1,2,3 la nghiệm của f(x) = 0 vậy f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(mx+n) 

thay f(4)=6 và f(5)=72 tìm được m =2 và n= -7 

Vậy đa thức f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(2x-7) => e = (-1).(-2).(-3).(-7) = 42

Với x=2010 thì (a 2010^4+b.2010^3+c.2010^2+d.2010 ) luôn chia hết 10 vậy số dư f(2010) chia 10 = số dư d/10 = 2 (42 chia 10 dư 2).

2. Thiếu dữ liệu 

3. đa thức f(x) chia đa thức (x-3) có số dư là 2 =>bậc f(x) = bậc (x-3)=1 và f(x) = m.(x-3) +2=mx+2-3m (1)

...........................................(x+4)...................9..........................................f(x) = n(x+4) + 9=nx+4n+9 (2)

để (1)(2) cùng xảy ra thì m=n và (2-3m)=(4n+9) => m = n = -1 khi đó đa thức f(x) = -x +5 

Không hiếu dữ liệu cuối f(x) chia 1 đa thức bậc 2 lại có thương là 1 đa thức bậc 2? => vô lý 

a) Ta có f(x) - 5 \(⋮\)x + 1 

=> x³ + mx² + nx + 2 - 5 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx² + nx  - 3 \(⋮\)x + 1

=> x = - 1 là nghiệm đa thức 

Khi đó (-1)³ + m(-1)² + n(-1) - 3 = 0

<=> m - n = 4 (1) 

Tương tự ta được f(x) - 8 \(⋮\)x + 2 

=> x³ + mx² + nx - 6 \(⋮\) x + 2

=> x = -2 là nghiệm đa thức

=> (-2)³ + m(-2)² + n(-2) - 6 = 0

<=> 2m - n = 7 (2) 

Từ (1)(2) => HPT \(\left\{{}\begin{matrix}m-n=4\\2m-n=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=3\\n=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy đa thức đó là f(x) = x³ + 3x² - x + 2  

b)  f(x) - 7 \(⋮\)x + 1

=> x³ + mx + n - 7 \(⋮\) x + 1 

=> x = -1 là nghiệm đa thức 

=> (-1)³ + m(-1) + n - 7 = 0

<=> -m + n = 8 (1) 

Tương tự ta được : x³ + mx + n + 5 \(⋮\)x - 3 

=> x = 3 là nghiệm đa thức 

=> 3³ + 3m + n + 5 = 0

<=> 3m + n = -32 (2) 

Từ (1)(2) => HPT : \(\left\{{}\begin{matrix}3m+n=-32\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m=-40\\-m+n=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-10\\n=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy f(x) = x³ - 10x -2

Huyền hỏi 2 bài liên tiếp à viết nhanh thế

Các dạng bài này đc giải rất nhiều sao bạn ko coi thế?

Lời giải:

Đặt $f(x)=Q(x)(x+1)(x^2+1)+ax^2+bx+c$ trong đó $ax^2+bx+c$ là đa thức dư khi chia $f(x)$ cho $(x+1)(x^2+1)$

Ta có:

$f(x)=Q(x)(x+1)(x^2+1)+a(x^2-1)+b(x+1)+a-b+c$

$=(x+1)[Q(x)(x^2+1)+a(x-1)+b]+a-b+c$

Do đó $f(x)$ chia $x+1$ có dư là $a-b+c$

$\Rightarrow a-b+c=4(*)$

Lại có:

$f(x)=Q(x)(x+1)(x^2+1)+a(x^2+1)-a+bx+c$

$=(x^2+1)[Q(x)(x+1)+a]+bx+(c-a)$

$\Rightarrow f(x)$ khi chia $x^2+1$ có dư là $bx+(c-a)$

$\Rightarrow bx+(c-a)=2x+3$

$\Rightarrow b=2; c-a=3(**)$

Từ $(*);(**)\Rightarrow a=\frac{3}{2}; b=2; c=\frac{9}{2}$

Áp dụng định lý Bezout ta được:

\(f\left(x\right)\)chia cho x+1 dư 4 \(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)

Vì bậc của đa thức chia là 3 nên \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+\left(ax^2+a\right)-a+bx+c\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a\)

Vì \(f\left(-1\right)=4\)nên \(a-b+c=4\left(1\right)\)

Vì f(x) chia cho \(x^2+1\)dư 2x+3 nên

\(\hept{\begin{cases}b=2\\c-a=3\end{cases}\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c=6\\b=2\\c-a=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=2\\c=\frac{9}{2}\end{cases}}}\)

Vậy dư f(x) chia cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)là \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\)

Lời giải:
Gọi đa thức dư khi lấy $f(x)$ chia cho $x^2+x-6$ là $ax+b$ với $a,b\in\mathbb{R}$, $Q(x)$ là đa thức thương.

Theo bài ra ta có:

$f(2)=6067$

$f(-3)=-4043$

$f(x)=(x^2+x-6)Q(x)+ax+b=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b$

Cho $x=2$ thì:

$f(2)=0.Q(2)+2a+b=2a+b$

$\Leftrightarrow 6067=2a+b(1)$

Cho $x=-3$ thì:

$f(-3)=0.Q(-3)-3a+b=-3a+b$

$\Leftrightarrow -4043=-3a+b(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow a=2022; b=2023$

Vậy đa thức dư là $2022x+2023$