Xét từng trường hơp  ban ak

vì p là số nguyên  tố lớn hơn 3. => p có 2 dạng: p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k \(\in\)N*)

+) nếu p=3k+2 => 10p+1 = 10.(3k+2)+1

= 30k+20+1

=30k+21 \(⋮\) 3 và lớn hơn 3.

=> 10p+1 là hợp số (  trái với đề, loại )

do đó: p=3k+1

- nếu p=3k+1 => 17p+1 = 17.(3k+1)+1

=51k+17 +1 

=51k+18  \(⋮\) 3 và lớn hơn 3.

=>17p+1 là hợp số.

vậy 17p+1 là hợp số. ( điều phải chứng minh )

chúc bạn học giỏi, k mình nha.

Câu 1: Vì p và 10p + 1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên p ≠ 2 vậy p là các số lẻ.

Ta có: 10p + 1 - p  = 9p + 1 

      Vì p là số lẻ nên 9p + 1 là số chẵn ⇒ 9p + 1 = 2k

          17p + 1 = 8p + 9p + 1   = 8p + 2k = 2.(4p + k) ⋮ 2

        ⇒ 17p + 1 là hợp số (đpcm)

Câu 1: 

Vì $p$ là stn lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3$. Do đó $p$ có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$.

Nếu $p=3k+2$ thì:

$10p+1=10(3k+2)+1=30k+21\vdots 3$

Mà $10p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái với giả thiết)

$\Rightarrow p$ có dạng $3k+1$.

Khi đó:
$17p+1=17(3k+1)+1=51k+18=3(17k+6)\vdots 3$. Mà $17p+1>3$ nên $17p+1$ là hợp số
 (đpcm)

Câu 2: Cho $n=1$ thì $\frac{3n+7}{9n+6}=\frac{10}{15}$ không phải phân số tối giản bạn nhé. Bạn xem lại đề.

Do P là số nguyên tố >3

=>Pcó dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (với k thuộc N khác 0)

-Nếu P=3k+1 thì:

5P+1=5(3k+1)+1

        =15k+5+1

        =15k+6 chia hết cho 3-> 5P+1 là hợp số(Không thỏa mãn)

-Nếu P=3k+2:

Xét 10P+1 ta có:

10(3k+2)+1=30k+20+1

                 =30k+21 chia ết cho 3 -> 10P+1 là hợp số(Thỏa mãn)

Vậy.......................................................

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p sẽ có một trong các dạng : \(3k+1;3k+2\)           \(\left(k\in N\right)\)

Nếu \(p=3k+1\)thì khi đó \(17p+1=17.\left(3k+1\right)+1=51k+17+1=51k+18=3.\left(17k+6\right)⋮3\)

Suy ra \(17p+1⋮3\)hay \(17p+1\)là hợp số

Nếu \(p=3k+2\)thì khi đó 

\(10p+1=10.\left(3k+2\right)+1=30k+20+1=30k+21=3.\left(10k+7\right)⋮3\)

Suy ra  \(10p+1⋮3\)hay \(10p+1\)là hợp số ( loại vì theo đề bài \(10p+1\)là số nguyên tố )

Vậy \(17p+1\)là hợp số

Ta có :

p có dạng 3k , 3k+1 , 3k+2

* Nếu p = 3k+1 => p+1 = 10 ( 3k + 1 ) + 1 = 30k+10+1= 30k+11 ( Thoả mãn )

*Nếu p = 3k+2 => p + 1 = 10( 3k + 2 ) + 1 = 30k+20+1 = 30k+21 ( lớn hơn 3 và chia hết cho 3 ) => p+1 là hợp số
=> Không có trường hợp p = 3k+2

Với p= 3k1 +1 => 17p+1 = 17 ( 3k+1 ) + 1 = 51k + 17 + 1 = 51k + 18 ( Lớn hơn 3 và chia hết cho 3 ) => 17p+1 là hợp số

Vậy 17p+1 là hợp số ( đpcm )

p là số nguyên tố, p>3 => p không chia hết cho 3, lại có (10;3)=1 => 10p không chia hết cho 3 (1)

10p+1 là số nguyên tố, 10p+1>3 => 10p+1 không chia hết cho 3 (2)

Ta có: 10p(10p+1)(10p+2) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => 10p(10p+1)(10p+2) chia hết cho 3 (3)

Từ (1),(2),(3) => 10p+2 chia hết cho 3 <=> 2(5p+1) chia hết cho 3

Mà (2;3)=1 Nên 5p+1 chia hết cho 3 (*)

p là số nguyên tố, p>3 => p lẻ => 5p lẻ => 5p+1 chẵn => 5p+1 chia hết cho 2 (**)

Ta có: (2;3)=1 (***)

Từ (*),(**),(***) => 5p+1 chia hết cho 6.