1. a là số tự nhiên chia 5 dư 1

=> a = 5k + 1 ( k thuộc N )

b là số tự nhiên chia 5 dư 4

=> b = 5k + 4 ( k thuộc N )

Ta có ( b - a )( b + a ) = b² - a²

                                   = ( 5k + 4 )² - ( 5k + 1 )²

                                   = 25k² + 40k + 16 - ( 25k² + 10k + 1 )

                                   = 25k² + 40k + 16 - 25k² - 10k - 1

                                   = 30k + 15

                                   = 15( 2k + 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

2. 2n²( n + 1 ) - 2n( n² + n - 3 )

= 2n³ + 2n² - 2n³ - 2n² + 6n

= 6n chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

3. n( 3 - 2n ) - ( n - 1 )( 1 + 4n ) - 1

= 3n - 2n² - ( 4n² - 3n - 1 ) - 1

= 3n - 2n² - 4n² + 3n + 1 - 1

= -6n² + 6n

= -6n( n - 1 ) chia hết cho 6 ∀ n ∈ Z ( đpcm )

Ta có: 3ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺⁴ + 3ⁿ + 2ⁿ

= 3ⁿ . 3² - 2ⁿ . 2⁴ + 3ⁿ + 2ⁿ

= 3ⁿ . 9 - 2ⁿ . 16 + 3ⁿ + 2ⁿ

= (3ⁿ . 9 + 3ⁿ) - (2ⁿ . 16 - 2ⁿ)

= 3ⁿ . (9 + 1) - 2ⁿ . (16 - 1)

= 3ⁿ . 10 - 2ⁿ . 15

Do n nguyên dương nên 3ⁿ chia hết cho 3, 2ⁿ chia hết cho 2

=> 3ⁿ . 10 chia hết cho 30, 2ⁿ . 15 chia hết cho 30

=> 3ⁿ . 10 - 2ⁿ . 15 chia hết cho 30

=> đpcm

\(3^{n+2}-2 ^{n+2}+3^n-2^n=3^{n+2}+3^n-\left(2^{n+2}+2^n\right)=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n.10-2^n.5=3^n.10-2^{n-1}.10=\left(2^n-2^{n-1}\right).10\)   chia hết cho 10

3^n+2-2^n+2+3^n-2^n

=3^n+2+3^n-(2^n+2+2^n)

=3^n(3^2+1)-2^n(2^2+1)

=3^n.10-2^n.5=3^n.10-2^n-1.10=10(3^n-2^n-1) chia hết cho 10(đpcm)

Ta có:

4ⁿ⁺³ +4ⁿ⁺² -4ⁿ⁺¹ -4ⁿ 

=4^n-1 .4⁴ + 4^n-1 . 4³ - 4^n-1 . 4² - 4^n-1 .4 

=4^n-1 . (4⁴  +4³ - 4² -4) 

=4^n-1 . 300 : 300 

= 4ⁿ⁺³  + 4ⁿ⁺² -4ⁿ⁺¹  -4ⁿ \(⋮\) 300 (ĐPCM)

Đặt A=4^{n+3}+4^{n+2}-4^{n+1}-4^n

A= 4^n-1(4^4+4^3-4^2-4)

A=4^n-1.300⋮300

                  k cho mik nha                học tốt.