giả sử 2015 số đã cho là:

a₁ bé hơn hoặc bằng a₂bé hơn hoặc bằng.......bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₄bé hơn hoặc bằng a₂₀₁₅

Vì tích 3 số bất kỳ luôn luôn dương 

nên trong dãy số có nhiều nhất 2 số âm

\(\vec{ }\)

a₁;a₂ <0

ta có: a_1.a_2014.a₂₀₁₅ <0

mà đề cho:a_1.a_2014.a₂₀₁₅>0

\(\vec{ }\)

a₁;a₂ không thể âm

Do vậy 2015 số đã cho phải là số dương

- Gọi các số đó là : \(x_1,x_2.....x_{2021}\)

Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2.x_3>0\\......\\\end{matrix}\right.\)

- Để \(x_1.x_2.x_3>0\) thì \(\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\x2< 0\\x3< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x1< 0\\x2>0\\x3< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\x2< 0\\x3< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\x2>0\\x3>0\end{matrix}\right.\)

CMTT => Trường hợp thỏa mãn là : \(\left\{{}\begin{matrix}x1>0\\....\\x2021>0\end{matrix}\right.\)

Vậy ....

Phản chứng: gọi các số hữu tỉ là \(a_1;a_2;a_3;a_4...\)

Do tích các số đều dương nên tất cả chúng đều khác 0

Nếu tồn tại 1 số trong đó là số âm, giả sử \(a_1< 0\)

Do \(a_1.\left(a_2.a_3\right)>0\Rightarrow a_2a_3< 0\) (1)

\(\left(a_2a_3\right)a_4>0\) mà \(a_2a_3< 0\Rightarrow a_4< 0\)

\(\Rightarrow a_1a_4>0\)

\(a_1a_2a_4>0\) mà \(a_1a_4>0\Rightarrow a_2>0\) (2)

\(a_1a_3a_4>0\) mà \(a_1a_4>0\Rightarrow a_3>0\) (3)

(2); (3) \(\Rightarrow a_2a_3>0\) mâu thuẫn với (1)

Vậy điều giả sử là sai hay 2021 số đó đều dương

a) Tổng của 4 số là 1 số dương nên chắc chắn trong 4 số đó có 1 số dương

Bớt số dương đó ra => còn lại 12 số . Chia 12 số đó thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 4 chữ số

=> Giá trị mỗi nhóm là số dương => Tổng 12 số đó dương

Cộng với số dương đã bớt ra => tổng của 13 số đã cho dương

Nhìn vào cái này thì thấy cái khác quay, hoa mắt quá !!!

b)  Tích của 3 số bất kì cũng là một số âm => chắc chắn có ít nhất 1 số âm 

=> Bớt số âm đó ra còn lại 12 số. Chia 12 số đó thành 4 nhóm, mỗi nhóm có 3 số 

Giá trị mỗi nhóm âm => trong đó chắc chắn có 1 số âm và tích của 12 số bất kì là số dương

Có 4 nhóm =>  có 4 số âm nữa => Vậy Có 5 số âm

Còn lại 8 số : Chia thành 2 nhóm (mỗi nhóm 3 số) và 2 số còn lại

Mỗi nhóm ta bớt ra được 1 số âm => ta được 2 số âm nũa

Còn lại 6 số: Chia thành 2 nhóm => ta được 2 số âm nữa

Còn lại 4 số : chia thành một nhóm 3 số và 1 số  mà Tích của 4 số dương , tích của 3 số âm

=> Số còn lại âm. vậy ta bớt được 2 số âm từ 4 số còn lại

=> Còn lại 2 số có tích dương. Có 11 số âm lấy ra từ 13 số => tích của 11 số là âm

Mà tích của 12 bất kì dương => 2 số còn lại phải âm

=> ĐPCM

- Gọi các số cần tìm theo thứ tự từ bé -> lớn là : a₁ ; a₂ ; a₃ ; ... a₁₀₀

- Ta có : a₁ ; a₂ ; a₃ ; a₁₀₀ < 0

=> Cả 3 số cùng âm 

hoặc a₁ âm và a₂;a₁₀₀ dương ( không thể theo thứ tự khác vì từ đầu ta đã nói là từ bé -> lớn )

+ ; a₂ là số dương => a₃ ; a₄ ; a₁₀₀ đều là số dương ( vì đã từ bé -> lớn ) -> mâu thuẫn vì tích 3 số bất kì đều < 0

=> Trường hợp ( a₁₀₀ là số âm )

=> 100 số đề là số âm.

- Tích của 2 số âm là 1 số dương mà có 50 cặp => tích 100 số trên là số dương

Còn con b ai giải giúp với

- Gọi các số cần tìm theo thứ tự từ bé -> lớn là : a₁ ; a₂ ; a₃ ; ... a₁₀₀

- Ta có : a₁ ; a₂ ; a₃ ; a₁₀₀ < 0

=> Cả 3 số cùng âm 

hoặc a₁ âm và a₂;a₁₀₀ dương ( không thể theo thứ tự khác vì từ đầu ta đã nói là từ bé -> lớn )

+ ; a₂ là số dương => a₃ ; a₄ ; a₁₀₀ đều là số dương ( vì đã từ bé -> lớn ) -> mâu thuẫn vì tích 3 số bất kì đều < 0

=> Trường hợp ( a₁₀₀ là số âm )

=> 100 số đề là số âm.

Gọi các số cần tìm theo thứ tự từ bé -> lớn là a₁; a₂; a₃; ...; a₁₀₀

- Ta có  a₁ . a₂ . a₁₀₀ < 0

 => Cả 3 số cùng âm

hoặc a₁ âm và a2; a₁₀₀ dương ( không thể theo thứ tự khác vì từ đầu ta đã nói là từ bé -> lớn )

+ a₂ là số dương => a₃; a₄; ....; a₁₀₀ đều là số dương ( vì đã từ bé => lớn ) => mâu thuẫn vì tích 3 số bất kì đều < 0

=> Trường hợp **** ( a₁₀₀ là số âm )

=> 100 số đề là số âm.  

- Tích của 2 số âm là 1 số dương mà có 50 cặp

=> tích 100 số trên là số dương