tổng các số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ

a) giả sử tổng số hữu tỉ và số vô tỉ là số hữu tỉ

Ta có a+b=c(a,c là số hữu tỉ ; b là số vô tỷ)

=> b=c-a 

mà c-a là số hữu tỉ ( do a,c là số hữu tỉ)

=> b là số hữu tỉ trái đề bài

Vậy tổng số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ

b) phần này cần điều kiện số hữu tỉ khi nhân kia phải khác 0

Giả sử tích một số vô tỉ và một số hữu tỉ là 1 số hữu tỉ

Ta có a.b=c (a,c là số hữu tỉ ; b là số vô tỷ, a khác 0)

=> b=c/a 

mà c/a là số hữu tỉ ( do a,c là số hữu tỉ)

=> b là số hữu tỉ trái đề bài 

Vậy tích một số vô tỉ và một số hữu tỉ là 1 số vô tỉ

a) Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) ( a ; b \(\in\) N* ) ; ( a ; b ) = 1

\(\implies\) \(b\sqrt{2}=a\)

\(\implies\) \(b^2.2=a^2\)

\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố

\(\implies\) \(a\) chia hết cho \(2\) 

\(\implies\) \(a^2\) chia hết cho \(4\)

\(\implies\) \(b^2.2\) chia hết cho \(4\)

\(\implies\) \(b^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố

\(\implies\) \(b\) chia hết cho \(2\)

\( \implies\) \(\left(a;b\right)=2\) mâu thuẫn với \(\left(a;b\right)=1\)

\( \implies\) Điều giả sai

\( \implies\) \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )

b) Giả sử \(5-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-\sqrt{2}=m\) ( m \(\in\) Q )

\( \implies\) \(\sqrt{2}=5-m\) ; mà \(5\) là số hữu tỉ ; \(m\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(5-m\) là số hữu tỉ 

 Mà theo câu a ; \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ 

\( \implies\) Mâu thuẫn

\( \implies\) \(5-\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )

cậu bỏ cho tớ dòng thứ 5 với dòng ấy tớ ghi thừa

 Xin lỗi , xin lỗi lúc nãy tớ viết vội quá nên râu ông nọ cắm cằm bà kia . Bây giờ sửa lại ý a) 

a) Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ nên suy ra : \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) ( a ; b \(\in\) N* ) ; ( a ; b ) = 1

\( \implies\) \(b\sqrt{2}=a\)

\( \implies\) \(b^2.2=a^2\)

\( \implies\) \(a^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố 

\( \implies\) \(a\) chia hết cho \(2\)

\( \implies\) \(a^2\) chia hết cho \(4\)

\( \implies\)  \(b^2.2\) chia hết cho \(4\)

\( \implies\) \(b^2\) chia hết cho \(2\) ; mà \(2\) là số nguyên tố nên suy ra \(b\) chia hết cho \(2\)

\( \implies\) \(\left(a;b\right)=2\) mâu thuẫn với \(\left(a;b\right)=1\)

\( \implies\) Điều giả sử sai

\( \implies\) \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ ( đpcm )

Đề thiếu điều kiện n là số tự nhiên nhé 

\(a)\)\(\sqrt{1+2+3+4+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-2\right)+...+3+2+1}\)

\(=\)\(\sqrt{\frac{n\left(n-1\right)}{2}+n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\)

\(=\)\(\sqrt{\frac{2n\left(n-1\right)}{2}+n}\)

\(=\)\(\sqrt{n\left(n-1\right)+n}\)

\(=\)\(\sqrt{n\left(n-1+1\right)}\)

\(=\)\(\sqrt{n^2}\)

\(=\)\(\left|n\right|\)

Mà n là số tự nhiên nên \(n\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\left|n\right|=n\)

Vậy \(\sqrt{1+2+3+4+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}=n\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~