Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}x.y=\left(z.t\right)-1\\x+y=z+t\end{cases}}\)
CMR: z = t
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x;y;z) thỏa mãn :
\(\hept{\begin{cases}\left(xy+1\right)⋮z\\\left(xz+1\right)⋮\\\left(yz+1\right)⋮x\end{cases}y}\)
Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
Tìm tất cả bộ 3 số nguyên dương x,y,z thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}\left(xy+1\right)⋮z\\\left(yz+1\right)⋮x\\\left(xz+1\right)⋮y\end{cases}}\)
Không mất tính tổng quát.
g/s : \(x\ge y\ge z\)\(\ge1\)
Theo bài ra ta có: \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)
=> \(\left(xy^2z+yz+xy+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)
=> tồn tại số nguyên dương k sao cho: \(xy+yz+zx+1=k.xyz\)
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=k\)
=> \(k\le1+1+1+1=4\)(1)
TH1: k = 4 khi đó dấu "=" của bất đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 ( tm)
TH2: k=3
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=3\)
=>\(3\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^3}\)
=> \(3\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=2\)
=> \(2\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=1
Với z=1; y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x=2\)
Vậy x=2, y=z=1 ( thử vào thỏa mãn)
TH3: k=2
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{zyx}=2\)
=> \(2\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1\)
=> \(1\le\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=2 hoặc y=1
Với y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=0\left(loai\right)\)
Với y=2 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=3\)
Vậy x=3; y=2; z=1 ( thử vào thỏa mãn)
TH4: K=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=1\)
=> \(1\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1 hoặc z=2 hoặc z=3
Với z=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=0\)loại
Với \(z=2\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{2}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2y^2}\)=> y=1 (loại), y=2 (loại ); y=3 => x=7 ; y=4 => x= 9/2(loại); y>5 loại
Với z =3 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3xy}=1\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3xy}=\frac{2}{3}\)
=> \(\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{3y^2}\)=> y=1 ( loại ), y=2 => x=7 (tm) , y=3 => x=10/3 (loại); y>4 ( loại)
TH này x=7; y=2; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn) hoặc x=7; y=3 ; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn)
Vậy: (x; y; z) là bộ ba số (1; 1; 1), (3; 2; 1); (2; 1;1 ) và các hoán vị của chúng
Ps: Cầu một cách ngắn gọn hơn! Thanks
Tìm các số thực dương x,y,z thỏa mãn hệ phương trình
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\\xyz\left(x+y+z\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=1296\end{cases}}\)
Xét với \(0< x,y,z< 1\) thì \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>1\) (vô lí)
Xét \(x,y,z\ge1\) , đặt \(\hept{\begin{cases}x=a^3\\y=b^3\\z=c^3\end{cases}}\) (\(a,b,c\ge1\))
Ta có \(1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=\frac{1}{a^3+1}+\frac{1}{b^3+1}+\frac{1}{c^3+1}\ge\frac{3}{abc+1}\) (cái này chắc you cm đc)
\(\Rightarrow abc\ge2\Rightarrow a^3.b^3.c^3\ge8\) hay \(xyz\ge8\) (1)
Áp dụng BĐT AM-GM : \(1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{x+y+z+3}\Rightarrow x+y+z\ge6\) (2)
Áp dụng BĐT Cauchy : \(1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge27\) (3)
Nhân (1), (2), (3) theo vế : \(xyz\left(x+y+z\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge1296\)
Đẳng thức xảy ra khi xảy ra đồng thời (1), (2), (3) , tức là x = y = z = 2
Vậy tập nghiệm của hệ : \(\left(x,y,z\right)=\left(2;2;2\right)\)
you chứng minh \(xyz\ge8\) thử coi được không?
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\\x+y+z=2\end{cases}}\)
Tính giá trị của biểu thức P=\(\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}+\frac{\sqrt{y}}{y+1}+\frac{\sqrt{z}}{z+1}\right)\)
Cho x , y , z thỏa mãn : \(\hept{\begin{cases}x,y,z\in\left[-1;2\right]\\x+y+z=2\end{cases}}\)CMR \(x^2+y^2+z^2\le6\)
Tìm các số x,y,z không âm thỏa mãn hệ phương trình:\(\hept{\begin{cases}2\left(x+y\right)=z^2\\2\left(y+z\right)=x^2\\2\left(z+x\right)=y^2\end{cases}}\)
Có : \(\hept{\begin{cases}2\left(x+y\right)=z^2\Rightarrow2\left(x+y+z\right)+1=z^2+2z+1=\left(z+1\right)^2\\2\left(y+z\right)=x^2\Rightarrow2\left(y+z+x\right)+1=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\\2\left(z+x\right)=y^2\Rightarrow2\left(z+x+y\right)+1=y^2+2y+1=\left(y+1\right)^2\end{cases}}\) mà x,y,z không âm.
\(\Rightarrow x=y=z\) .
Thay vào 3 phương trình trên ta có : \(\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\\x=y=z=4\end{cases}}\)
Vậy........
x;y;z thỏa mãn
\(\hept{\begin{cases}x^2+z^2=1\\y^2+2y\left(x+z\right)=6\end{cases}}\)
cmr \(y\left(z-x\right)\le4\)
Tìm các bộ 3 số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn hệ phương trình :
\(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x^3+y^3=z^2\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}x+y=z\left(1\right)\\x^3+y^3=z^2\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta thế (1) vào (2) : \(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^2\)
<=> \(\left(x+y\right)^2-3xy=\left(x+y\right)\)
Đặt: \(x+y=S;xy=P\)vì x, y nguyên dương => S; P nguyên dương
ĐK để tồn tại nghiệm x, y là: \(S^2\ge4P\)
Có: \(S^2-3P=S\)
=> \(S+3P\ge4P\)<=> \(S\ge P\)
=> \(S^2-S=3P\le3S\)
<=> \(0\le S\le4\)
+) S = 0 loại
+) S = 1 => P = 0 loại
+) S = 2 => P =3/2 loại
+) S = 3 => P = 2
=> \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}}\)<=> x =2; y =1 hoặc x = 1; y =2
=> (x; y; z ) = ( 1; 2; 3) thử lại thỏa mãn
hoặc (x; y; z) = ( 2; 1; 3 ) thử lại thỏa mãn
+) S = 4 => P = 4
=> \(\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=4\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)
=> (x; y; z ) = ( 2; 2; 4) thử lại thỏa mãn.
Vậy: có 3 nghiệm là:....
tìm bộ ba số nguyên dương x,y,z thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x+y-z=0\\x^3+y^3-z^2=0\end{cases}}\)