Câu hỏi của thanh ngọc - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

a) \(\left(x+y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge-2xy\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2-2xy\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2}{2}\ge\frac{\left(x-y\right)^2}{4}\)

Dấu \(=\)khi \(x+y=0\Leftrightarrow x=-y\).

b) \(\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

Câu này có lẽ bạn sai đề rồi nhé. 

Giả thiết đề bài phải cho \(x^2+y^2+z^2\le3\) mới đúng.

Đặt \(m=x+y+z\)  thì \(m^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\le3+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                            \(\le3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3.2=9\)

\(\Rightarrow m^2\le9\Rightarrow-3\le m\le3\) (1) 

Lại có ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{m^2}{3}\le\frac{9}{3}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+xy+yz+zx\le6\) (đpcm)

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)  ( 1 )

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+xy^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)     ( 2 )

\(\Rightarrow\)Bất đẳng thức ( 2 ) \(\Rightarrow\) Bất đẳng thức ( 1 ) 

( Dấu " = " xảy ra khi x = y ) 

Chúc bạn học tốt !!!

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)\(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\)

\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)(luôn đúng )

\(\Rightarrow\)Phương trình ( 1) đúng ( đpcm)

Dấu bằng sảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}\Rightarrow x=y=z}\)

@Phạm Thị Thùy Linh hoặc có thể dùng bđt Cauchy cũng được, sau này lên lớp 9 sẽ áp dụng nhiều 

Bài làm :

Áp dụng bđt Cauchy ta có :

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{cases}}\)

Cộng vế của các bất đẳng thức ta được :

\(x^2+y^2+y^2+z^2+x^2+z^2\ge2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)( đpcm )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\)

\(=\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2+\left(3-z\right)^2\)

\(=27-6\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\)

\(=9+x^2+y^2+z^2\)

Dễ dàng CM được \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)

=>\(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\right)\ge12\)

=> dpcm

Ta có: \(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)\)

\(=2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2+2yz+z^2\right)+\left(x^2+2xz+z^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(x+z\right)^2\)(1)

Mà \(x+y+z=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=3-z\\y+z=3-x\\x+z=3-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)=\left(3-z\right)^2+\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\)

\(=9-6z+z^2+9-6x+x^2+9-6y+y^2\)

\(=27-6\left(x+y+z\right)+x^2+y^2+z^2\)

\(=9+x^2+y^2+z^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số:

\(x^2+y^2+z^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}+\frac{z^2}{1}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{1+1+1}=\frac{3^2}{3}=3\)

\(\Rightarrow9+x^2+y^2+z^2\ge12\)

hay \(2\left(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\right)\ge12\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\ge6\left(đpcm\right)\)

Lời giải:

Khi $x-y+z=0\Rightarrow y=x+z$. Thay vào biểu thức $xy+yz-xz$ thì:

$xy+yz-xz=x(x+z)+(x+z)z-xz=x^2+xz+z^2=x^2+\frac{xz}{2}+\frac{xz}{2}+\frac{z^2}{4}+\frac{3}{4}z^2$

$=(x+\frac{z}{2})^2+\frac{3}{4}z^2$

Dễ thấy $(x+\frac{z}{2})^2\geq 0; \frac{3}{4}z^2\geq 0$ với mọi $x,y,z$ nên $xy+yz-xz\geq 0$ 

Ta có đpcm.

Sử dụng bđt \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)^2\ge3\left(\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}+\frac{yz}{x}.\frac{zx}{y}+\frac{zx}{y}.\frac{xy}{z}\right)=3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)

\(\Rightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge\sqrt{3}\)