c) \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\)

\(=2n^2-3n-2n^2-2n\)

\(=-5n\)Vì n nguyên

\(\Rightarrow-5n⋮5\left(đpcm\right)\)

a) \(\left(2n+3\right)^2-9\)

\(=\left(2n+3-3\right)\left(2n+3+3\right)\)

\(=2n\left(2n+6\right)\)

\(=4n\left(n+3\right)\)

Do \(n\in Z\Rightarrow n+3\in Z\)

\(\Rightarrow4n\left(n+3\right)⋮4\left(đpcm\right)\)

b) \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì \(n\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\in Z\\n+2\in Z\end{matrix}\right.\)

Mà n,n+1,n+2 là 3 sô nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+3\right)⋮6\left(dpcm\right)\)

Ta có :

\(A=n^6-n^4+2n^3+2n^2\)

\(A=n^4\left(n^2-1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(A=n^4\left(n+1\right)\left(n-1\right)+2n^2\left(n+1\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right).\left[n^2\left(n-1\right)+2\right]\)

\(A=n^2\left(n+1\right).\left(n^3-n^2+2\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right).\left(n^3+1+1-n^2\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right).\left(n+1\right).\left(n^2-n+1-n+1\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)^2.\left(n^2-2n+2\right)\)

Với \(n\in N\), n > 1 thì \(n^2-2n+2=\left(n-1\right)^2+1>\left(n-1\right)^2\)

Và \(n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)< n^2\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)^2< n^2-2n+n< n^2\)

Vậy A không phải số chính phương

A = n⁴.(n² - 1) + 2n².(n+1) = n⁴.(n+1).(n-1) + 2n².(n + 1) = n²(n + 1). (n².(n -1) + 2)

=  n²(n + 1).(n³ - n² + 2) =  n²(n + 1).(n³ + 1 + 1 - n²) =  n²(n + 1).(n +1). (n² - n + 1 - n + 1) =  n²( n + 1)².(n² - 2n + 2)

Với n > 1 => n² - 2n +  1 < n² - 2n + 2 < n² 

               => (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n²  

(n - 1)² ;  n² là 2 số chính phương liên tiếp  => n² - 2n + 2 không thể là số chính phương

=> A không là số chính phương

mình ko biết

`n<sup>6</sup> - n<sup>4</sup> + 2n<sup>3</sup> + 2n<sup>2`</sup>
`= n<sup>2</sup> . (n<sup>4</sup> - n<sup>2</sup> + 2n +2)`
`= n<sup>2</sup> . [n<sup>2</sup>(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]`
`= n<sup>2</sup> . [(n + 1)(n<sup>3</sup> - n<sup>2</sup> + 2)]`
`= n<sup>2</sup> . (n + 1) . [(n<sup>3</sup> + 1) - (n<sup>2</sup> - 1)]`
`= n<sup>2</sup>. (n + 1)<sup>2</sup> . (n<sup>2</sup> - 2n + 2)`
Với `n ∈ N, n > 1` thì` n<sup>2</sup> - 2n + 2 = (n - 1)<sup>2</sup> + 1 > (n - 1)<sup>2`</sup>
Và `n<sup>2</sup> - 2n + 2 = n<sup>2</sup> - 2(n - 1) < n<sup>2`</sup>
Vậy `(n - 1)<sup>2</sup> < n<sup>2</sup> - 2n + 2 < n<sup>2`</sup>
`=> n<sup>2</sup> - 2n + 2` không phải là một số chính phương.

Chứng minh n^6+n^4-2n^2 chia hết cho 72?

\(S=a+a^3+...+a^{2n+1}\)

\(S.a^2=a^3+a^5+...+a^{2n+1}+a^{2n+3}\)

\(\Rightarrow S\left(a^2-1\right)=a^{2n+3}-a\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{a^{2n+3}-a}{a^2-1}\)

\(S_1=1+a^2+...+a^{2n}\)

\(S_1.a^2=a^2+a^4+...+a^{2n}+a^{2n+2}\)

\(\Rightarrow S_1\left(a^2-1\right)=a^{2n+2}-1\)

\(\Rightarrow S_1=\dfrac{a^{2n+2}-1}{a^2-1}\)

`A = n^2(n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1)` 

Để `A` chính phương thì `n^4 - 2n^3 + 2n^2 - 2n + 1 = a^2 (a in NN)`.

`<=> n^4 -2n^3 + n^2 + n^2- 2n +1 = a^2`

`<=> (n^2+1)(n-1)^2 = a^2`.

Vì `(n-1)^2` chính phương, `a^2` chính phương.

`=> n^2+1` chính phương.

Đặt `n^2+1 = b^2(b in NN)`.

`=> (b-n)(b+n) =1`

Mà `b, n in NN`.

`=> {(b-n=1), (b+n=1):}`

`<=> {(b=1), (n=0):}`

Vậy `n = 0`.

ta có

\(A=n^6-n^4+2n^3+2n^2=\left[\left(n^3\right)^2+2n^3+1\right]-\left[\left(n^2\right)^2-2n^2+1\right]\)

\(=\left(n^3+1\right)^2-\left(n^2-1\right)^2=\left(n^3+n^2\right)\left(n^3-n^2+2\right)=n^2\left(n+1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-2n+2\right)\)\(=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

Ta có

\(n^2-2n+2>n^2-2n+1=\left(n-1\right)^2\left(1\right)\)

Mặt khác \(n^2-2n+2=n^2-2\left(n-1\right)\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)

=>\(\left(n-1\right)^2

a) Ta có: n+4 chia hết cho 4.

Suy ra 4 chia hết cho n.Vậy n=1;2

b, 3n+7 chia hết cho n => 7 chia hết n

Vậy n=1

còn nhiều quá