S=4+4^2+4^3+4^4+...+4^2016

S=(4+4^2 +...+4^6)+....+(4^2011+4^2012+...+4^2016)

S=5460+...+4^2010*(4+4^2+...+4^6)

S=5460+..+5460*4^2010

S=5460*(1+..+4^2010)

Vì 5460 chia hết cho 420 nên S chia hết cho 420

5^3=125

5^3+1=126

=> ghép (5^n-4+5^n)=5^n-4(1+5^3)=5^n-4.126

số còn lại 5^2+5^3=25+125=150 chia 126=3 dư 24

mình chỉ chứng minh được chia hết cho 156 thôi !

Đề là 126 mà bạn

S=5+5²+5³+5⁴+...+5²⁰¹⁶

=(5+5²+5³)+(5⁴+5⁵+5⁶)+...+(5²⁰¹⁴+5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁶)

=5(1+5+5²)+5⁴(1+5+5²)+...+5²⁰¹⁴(1+5+5²)

=5.31+5⁴.31+...+5²⁰¹⁴.31

=31(5+5⁴+...+5²⁰¹⁴)

Vì 31\(⋮\)31 nên 31(5+5⁴+...+5²⁰¹⁴)

Vậy S \(⋮\) 31

S = 5 + 5 ^ 2 + 5 ^ 3 + 5 ^ 4 + .... + 5 ^ 2016 ( co 2016 số hạng )

S = ( 5 + 5 ^ 2 + 5 ^ 3 ) + ( 5 ^ 4 + 5 ^ 5 + 5 ^ 6) + ..... + ( 5 ^ 2014 + 5 ^ 2015 + 5 ^ 2016 )  Co 2016 : 3 = 672 nhom

S = 5 x ( 1 + 5 + 5 ^ 2 ) + 5 ^ 4 x (  1 + 5 + 5 ^ 2 ) +...... + 5 ^ 2014 x ( 1  + 5 + 5 ^ 2 )

S = 5 x 31 + 45 ^ 4 x 31 + ... + 5 ^ 2014 x 31

S = ( 5 + 5 ^ 4 + .... + 5 ^ 2014 ) x 31

VÌ 31 chia hết cho 31 nên ( 5 + 5 ^ 4 +.... + 5 ^ 2014 ) x 31 chia hết cho 31, hay B chia hết cho 31

CHỨNG MINH S CHIA HẾT CHO 10 :

\(S=4+4^2+...+4^{2004}\)

\(S=\left(4+4^2\right)+\left(4^3+4^4\right)+...+\left(4^{2003}+4^{2004}\right)\)

\(S=1\left(4+4^2\right)+4^3\left(4+4^2\right)+...+4^{2003}\left(4+4^2\right)\)

\(S=1.20+4^3.20+...+4^{2003}.20\)

\(S=20.\left(1+4^3+...+4^{2003}\right)\)CHIA HẾT CHO 10 (VÌ 20 CHIA HẾT CHO 10 )

\(=>dpcm\)

CHỨNG MINH 3S+4 CHIA HẾT CHO 4²⁰⁰⁴

^{\(S=4+4^2+4^3+...+4^{2004}\)}

\(4S=4+4^2+4^3+...+4^{2005}\)

\(3S=4S-S=4^{2005}-4\)

MÀ 4²⁰⁰⁵ CHIA HẾT CHO 4²⁰⁰⁴

^\(=>3S+4\)CHIA HẾT CHO \(4^{2004}\left(dpcm\right)\)

\(S=1+4^2+...+4^{2004}\)

\(4S=4+4^3+...+4^{2005}\)

\(\Rightarrow\)\(4S-S=4+4^3+...+4^{2005}-1-4^2-...-4^{2004}\)

\(\Rightarrow\)\(3S=\left(4^3-4^3\right)+...+\left(4^{2004}-4^{2004}\right)-\left(4^{2005}+4-1-4^2\right)\)

\(\Rightarrow\)

Lời giải:

$A=(4+4^2)+(4^3+4^4)+....+(4^{23}+4^{24})$

$=(4+4^2)+4^2(4+4^2)+....+4^{22}(4+4^2)$

$=(4+4^2)(1+4^2+...+4^{22})$

$=20(1+4^2+...+4^{22})\vdots 20$ 

----------------------------

$A=(4+4^2+4^3)+(4^4+4^5+4^6)+....+(4^{22}+4^{23}+4^{24})$

$=4(1+4+4^2)+4^4(1+4+4^2)+....+4^{22}(1+4+4^2)$

$=(1+4+4^2)(4+4^4+...+4^{22})$

$=21(4+4^4+....+4^{22})\vdots 21$

----------------------

Vậy $A\vdots 20; A\vdots 21$. Mà $(20,21)=1$ nên $A\vdots (20.21)$ hay $A\vdots 420$

S = 3¹⁰⁰ - 1

Ad cho xin ý kiến vs ạ