\(M=\left|x-\frac{5}{4}\right|+\left|x+2\right|=\left|\frac{5}{4}-x\right|+\left|x+2\right|\)

Áp dụng bđt \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge\left|x+y\right|\)với  \(xy\ge0\) ta có: 

\(M=\left|\frac{5}{4}-x\right|+\left|x+2\right|\ge\left|\frac{5}{4}-x+x+2\right|=\left|\frac{13}{4}\right|=\frac{13}{4}\)với \(\left(\frac{5}{4}-x\right)\left(x+2\right)\ge0\)

Lập bảng xét dấu:

Nhìn bảng xét dấu dễ thấy \(-2\le x\le\frac{5}{4}=1,25\) thỏa mãn\(\left(\frac{5}{4}-x\right)\left(x+2\right)\ge0\)

Vì x nguyên => \(x\in\left\{-1;0;1\right\}\)

Vậy M_min=13/4 khi  \(x\in\left\{-1;0;1\right\}\)

mình làm sai rồi nhé bạn

là dấu "=" xảy ra khi xy>=0

thật sự xin lỗi

x lớn hơn hoặc bằng -2 và x nhỏ hơn hoặc bằng 5/4. 
x nguyên nên x thuộc {-2;-1;0;1}

\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

Để biểu thức trên nguyên <=> \(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\) nguyên 

                                     \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=-2\Leftrightarrow\sqrt{x}=-1\Leftrightarrow x=1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=-1\Leftrightarrow\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=2\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\)

Vậy để biểu thức đạt giá trị nguyên khi : x = { 0 ; 1 ; 4 ; 9 }

Hứa hẹn nhiều chông gai lắm

đương nhiên rồi

kết quả là(0;4;9) ai giỏi thì giải đi