p là snt >3 => p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2

nếu p có dạng 3k+1 thì 4p-1= 4.(3k+1)-1= 12k +4-1= 12k+3 là hợp số

p có dạng 3k+2 thì 4p+1= 4.(3k+2)+1= 12k+8+1= 12k+9 là hợp số

từ đó kết luận

Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Ta thấy \(2015^{2016}\)có chữ số tận cùng là 5

Suy ra \(2015^{2016}-1\)có chữ số tận cùng là 4

Vì chỉ có 1 và chỉ 1 số chẵn duy nhất là số nguyên tố (số 2)

Suy ra \(2015^{2016}-1\)là hợp số

Ta có \(2015^{2016}+1\)có chữ số tận cùng là 6 ( vì \(2015^{2016}\)có chữ số tận cùng là 5 (chứng minh trên))

Suy ra \(2015^{2016}+1\)là hợp số (phần giài thích giống phia trên)

Vậy \(2015^{2016}-1\)và \(2015^{2016}+1\)ko đồng thời là số nguyên tố (đpcm)

1.+/n ko chia het cho3
*Voi n=3k+1(dk cua k)

=>n^2-1=(3k+1)^2-1=9k^2+6k+1-1=9k^2+6k

=3(3k^2+2k) chia het cho 3

ma n^2-1>3 voi n>2;n ko chia het cho 3

=>n^2-1 la hop so tai n chia 3 du 1(n>2)

*Voi n=3p+2(dk cua p)

=>n^2-1=(3p+2)^2-1=9p^2+12p+4-1

=9p^2+12p+3

=3(3p^2+4p+1) chia het cho 3

ma n^2-1>3 voi n>2;n ko chia het cho 3

=>n^2-1 la hop so tai n chia 3 du 2(n>2)

=>n^2-1 la hop so voi moi n >2;n ko chia het cho 3

=>n^2-1 và n^2+1 ko thể đồng thời là

số nguyên tố voi n>2;n ko chia hết cho 3

gọi UCLN(3n+4;n+1) là d

=> 3n+4 ⋮ d

và n+1 ⋮ d

=>3n+4 ⋮ d

3n+3⋮d

=>3n+4-3n-3⋮d

=>1⋮d

=>d=1(n thuộc N)

=> điều phải chứng minh

Đặt A = 20132013
2014x20132013

 = (2013 + 1) x A

= 2013 x A + A
2013x20142013

 = 2013 x ( A + 10000)

= 2013 x A + 20130000
=> 2014x20132013 -2013x20142013

= 2013 2013 - 20130000

= 2013