Cho tam giác ABC, Q là một điểm trên cạnh BC(Q khác B,C). Trên cạnh AQ lấy điểm P(P khác A,Q). Hai đường thẳng qua P song song với AC và AB lần lượt cắt AB và AC tại M và N. Chứng minh:AM/AB+AN/AC+PQ/AQ=1
Cho tam giác ABC.Gọi Q là điểm trên cạnh BC(Q khác B,C).Trên AQ lấy điểm P(P khác A;Q).Hai đường thẳng qua P // với AB,AC lần lượt cắt AB,AC tại M,N
Chứng minh AM/AB + AN/AC + PQ/AQ =1cho tam giác ABC. Gọi Q là điểm trên cạnh BC (Q khác B,C). Trên AQ lấy điểm P (P khác A,Q). Hai dduowngf thawngr qua P song song AC,AB lần lượt cắt AB,AC tại M,N.
a) Chứng minh rằng: \(\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1\)
b) Xác định vị trí điểm Q để \(\frac{AM.AN.PQ}{AB.AC.AQ}=\frac{1}{27}\)
a) Gọi H là giao của PN và BC, I là giao của MP và BC
Ta có \(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=1\left(1\right)\)
Mặt khác áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{NC}{AC}=\frac{CH}{BC}=\frac{CI+CH}{BC}=\frac{CI}{BC}+\frac{CH}{BC}\left(2\right)\)
Vì MI//AC nên \(\frac{CI}{BC}=\frac{AM}{AB}\left(3\right)\)
Vì \(\Delta\)ABC đồng dạng với \(\Delta\)PHI (gg)
=> \(\frac{IH}{BC}=\frac{PH}{AB}\)mà \(\frac{PH}{AB}=\frac{PQ}{AQ}\left(4\right)\)
Từ (1)(2)(3)(4) => \(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=....=\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1\left(đpcm\right)\)
b) Từ câu (a) ta có:
\(\frac{AM\cdot AN\cdot PQ}{AB\cdot AC\cdot AQ}=\frac{CI\cdot AN\cdot IH}{BC\cdot AC\cdot BC}=\frac{CI\cdot BH\cdot IH}{BC\cdot BC\cdot BC}=\frac{1}{27}\)
=> \(CI\cdot BH\cdot IH=\frac{BC^3}{27}\)
Mặt khác áp dụng BĐT Cosi cho 3 số không âm ta có:
\(CI\cdot BH\cdot IH\le\frac{\left(CI+IH+HB\right)^3}{3^3}=\frac{1}{27}\)
Gọi H = PN ∩ BC; I = MP ∩ BC
a, Ta có: \(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=1\left(1\right)\)
Mặt khác, áp dụng định lý Ta-lét, ta có:
\(\frac{NC}{AC}=\frac{CH}{BC}=\frac{CI+HI}{BC}=\frac{CI}{BC}+\frac{HI}{BC}\left(2\right)\)
Vì MI//AC nên \(\frac{CI}{BC}=\frac{AM}{AB}\left(3\right)\)
Vì ΔABC đồng dạng với ΔPHI (g.g)
=> \(\frac{HI}{BC}=\frac{PH}{AB}\) mà \(\frac{PH}{AB}=\frac{PQ}{AB}\)
nên \(\frac{HI}{BC}=\frac{PQ}{AB}\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
\(\frac{AN}{AC}+\frac{NC}{AC}=\frac{AN}{AC}+\frac{CI}{BC}+\frac{HI}{BC}\)
\(=\frac{AN}{AC}+\frac{AM}{AB}+\frac{PQ}{AQ}=1\left(đpcm\right)\)
b, Từ câu a ta có:
\(\frac{AM.AN.PQ}{AB.AC.AQ}=\frac{CI.AN.IH}{BC.AC.BC}=\frac{CI.BH.IH}{BC.BC.BC}=\frac{1}{27}\)
\(\Leftrightarrow CI.BH.IH=\frac{1}{27}.BC^3\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm, ta có:
\(CI.BH.IH\le\frac{\left(CI+BH+IH\right)^3}{3^3}=\frac{1}{27}.BC^3\)
Dấu "=" xảy ra <=> CI = BH = IH
<=> Q là trung điểm của BC và AP\(=\frac{2}{3}AQ\)
Cho tam giác ABC. Lấy 1 điểm Q thuộc canh BC (Q khác B và C) , trên AQ lấy P khác A và Q. 2 dường thẳng qua P song song với AC, AB lần lượt cắt AB, AC tại M và N.
a) CMR: \(\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=1\)
b) Xác định vị trí của Q trên BC để : \(\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}.\frac{PQ}{AQ}=\frac{1}{27}\)
GIÚP MÌNH VỚI, ĐẶC BIỆT LÀ CÂU b ĐẤY NHA
a) Kéo dài MP, NP lần lượt cắt BC tại E, D.
Xét tam giác ABC có ME // AC \(\Rightarrow\)\(\frac{AM}{AB}\)= \(\frac{CE}{BC}\)(1)
Xét tam giác ABC có ND // AB \(\Rightarrow\)\(\frac{AN}{AC}\)= \(\frac{BD}{BC}\)(2)
Xét tam giác ABQ có PD//AB \(\Rightarrow\frac{PQ}{AQ}=\frac{DQ}{BQ}\)
Xét tam giấc ACQ có PE//AC\(\Rightarrow\frac{PQ}{AQ}=\frac{QE}{QC}\)
\(\Rightarrow\frac{PQ}{AQ}=\frac{DQ}{BQ}=\frac{QE}{QC}=\frac{DQ+QE}{BQ+QC}=\frac{DE}{BC}\)(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{AM}{AB}+\frac{AN}{AC}+\frac{PQ}{AQ}=\frac{CE}{BC}+\frac{DB}{BC}+\frac{DE}{BC}=1\)(đpcm)
cho tam giác ABC,trên cạnh BC lấy điểm M, qua M vẽ các đường thẳng song song với AB và song song với AC lần lượt cắt cạnh AC tại N và cắt cạnh AB tại P
a/ C/m:MP=AN và MN=AP
b/gọi I là trung điểm AM.C/m tam giác AIP bằng tam giác MIN,suy ra 3 điểm P,I,N thẳng hàng
cho tam giác ABC,trên cạnh BC lấy điểm M, qua M vẽ các đường thẳng song song với AB và song song với AC lần lượt cắt cạnh AC tại N và cắt cạnh AB tại P
a/ C/m:MP=AN và MN=AP
b/gọi I là trung điểm AM.C/m tam giác AIP bằng tam giác MIN,suy ra 3 điểm P,I,N thẳng hàng
cho tam giác ABC,trên cạnh BC lấy điểm M, qua M vẽ các đường thẳng song song với AB và song song với AC lần lượt cắt cạnh AC tại N và cắt cạnh AB tại P
a/ C/m:MP=AN và MN=AP
b/gọi I là trung điểm AM.C/m tam giác AIP bằng tam giác MIN,suy ra 3 điểm P,I,N thẳng hàng
cho tam giác ABC,trên cạnh BC lấy điểm M, qua M vẽ các đường thẳng song song với AB và song song với AC lần lượt cắt cạnh AC tại N và cắt cạnh AB tại P
a/ C/m:MP=AN và MN=AP
b/gọi I là trung điểm AM.C/m tam giác AIP bằng tam giác MIN,suy ra 3 điểm P,I,N thẳng hàng
Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường thẳng AC và BD. Qua điểm O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh AD, BC lần lượt tại M,N. Trên AB, CD lần lượt lấy các điểm P, Q sap cho AP=CQ. Gọi I là giao điểm AC và PQ. Chứng minh:
a, Các tứ giác AMNB, APCQ là hình bình hành
b) Ba điểm M, N, I thẳng hàng
c)Ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy
(mọi người có thể vẽ hình không cũng đc ạ, ko cần phải cminh ạ, mình cảm ơn)
a/
Ta có
MN//AB (gt)
AD//BC=> AM//BN
=> AMNB là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Ta có
AB//CD => AP//CQ mà AP = CQ (gt) => APCQ là hbh (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)
b/
Xét hbh ABCD
OA=OC (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét hbh APCQ có
IA=IC (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
=> \(I\equiv O\) (đều là trung điểm AC) => M; N; I thẳng hàng
c/ Do \(I\equiv O\) (cmt) => AC; MN; PQ đồng quy tại O
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì, sao cho M khác A và C. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = CM
a) Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh tam giác OEM vuông cân
b) Đường thẳng qua A và song song với ME, cắt tia BM tại N. Chứng minh \(CN\perp AC\)
c) Gọi H là giao điểm của OM và AN. Chứng minh rằng tích \(AH.AN\)không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên cạnh AC