Cho hai phương trình: \(x^2+ax+1=0\) và \(x^2+bx+17=0\). Biết 2 phương trình có nghiệm chung và \(|a|+|b|\) đạt GTNN. Tìm a, b.
Cho hai phương trình: x2+ ax +1=0 và x2 +bx +17=0. Tìm a và b biết hai phương trình có nghiệm chung và
\(|a|\)+\(|b|\)nhỏ nhất
Để phương trình có nghiệm cần : \(\(\(\(\Delta\ge0\)\)\)\)
hay \(\(\(\(\orbr{\begin{cases}a\ge2\\a\le-2\end{cases}}\)\)\)\)và \(\(\(\(\orbr{\begin{cases}b\ge2\sqrt{17}\\b\le-2\sqrt{17}\end{cases}\left(\cdot\right)}\)\)\)\)
Gọi \(\(\(\(t\)\)\)\)là nghiệm chung 2 phương trình , ta có :
\(\(\(\(\hept{\begin{cases}t^2+t.a+1=0\\t^2+t.b+17=0\end{cases}}\)\)\)\)
\(\(\(\(\Rightarrow t\left(a-b\right)-16=0\Rightarrow a-b=\frac{16}{t}\)\)\)\)
Giải phương trình \(\(\(\(\left(1\right)\)\)\)\): tìm \(\(\(\(t\)\)\)\)theo \(a\):
\(\(\(\(t=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}\Rightarrow b=a-\frac{32}{-a\pm\sqrt{a^2-4}}\)\)\)\)
Kết hợp với \(\(\(\(\left(\cdot\right)\)\)\)\): \(\(\(\(b\in(-\infty;-2\sqrt{17}]\)\)\)\)∪\(\(\(\([2\sqrt{17};+\infty)\)\)\)\)
+) Với \(\(\(\(b=a-\frac{32}{\sqrt{a^2-4}-a}=\frac{544a+\sqrt{a^2-4}}{32}\)\)\)\)
Nếu \(\(\(\(a\ge2\)\)\)\)thì \(\(\(b\ge18\left(tm\right)\)\)\)
Nếu \(\(\(\(a\le-2\)\)\)\), Ta phải chứng minh \(\(\(\(32a+\sqrt{a^2-4}\le-4\sqrt{17}\)\)\)\)hay \(\(\(\(32a+4\sqrt{17}\le-\sqrt{a^2-4}\)\)\)\)
____________cạn, hình như sai ở đâu , để xem lại________
_Sorry_
_Minh ngụy_
___Giải PT (1), tìm t theo a :_
.....................
\(a\ge2\Rightarrow b\ge18\left(tm\right)\)
\(a\le2\Rightarrow......................\)(luôn đúng với mọi \(b\))
+) Nếu \(b=a-\frac{32}{-a-\sqrt{a^2-4}}=\frac{544a-\sqrt{a^2-4}}{32}\). cũng tương tự như trên , thỏa mãn với
\(a\in(-\infty;-2]\)U \([2;+\infty)\)
Như vậy , tìm được b theo a \(b=\frac{544a\pm\sqrt{a^2-4}}{32}\)
Suy ra \(|a|+|b|=a+\frac{544+\sqrt{a^2-4}}{32}\)
Giờ chỉ việc xét \(|a|\in[2;+\infty)\)là ra min và a,b nha
_Minh ngụy_
Cho 2 phương trình x^2+ax+12=0 và x^2+bx+7=0 có nghiệm chung. Khi đó A= 2a+3b+4 min=?
Cho a,b là nghiệm của phương trình x^2+5x-8=0 có a/b+1 và b/a+1 là
Cho a , b , c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình : x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nhgieemj chung . Hãy tìm tổng a + b + c
a) ax^2 + bx + c = 0
Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt.
∆ > 0
=> b^2 - 4ac > 0
x1 + x2 = -b/a > 0
=> b và a trái dấu
x1.x2 = c/a > 0
=> c và a cùng dấu
Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0
∆ = b^2 - 4ac >0
x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0
x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0
=> phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4
Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si.
x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 )
x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 )
=> x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#)
Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có
√( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##)
Theo a ta có
x1.x2 = c/a
x3.x4 = a/c
=> ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1
=> 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2
Từ (#) và (##) ta có đúng k bn
Cho a,b,c là 3 số phân biệt sao cho các phương trình: x2+ax+1=0 và x2+bx+c=0 có nghiệm chung. Đồng thời các phương trình x2+x+a=0 và x2+cx+b=0 cũng có nghiệm chung.
Tính giá trị của biểu thức P=a+b+c
Nhờ các bạn giải dùm:
1/Cho 3 số thực phân biệt a, b, c sao cho phương trình x2+ax+1=0 và x2+bx+c=0 có nghiệm chung, đồng thời phương trình x2+x+a=0 và
x2+cx+b=0 cũng có nghiệm chung.
Hãy tính a+b+c
2/Tìm a, b, c nguyên dương sao cho: a2-2c+2=abc
Ý tưởng như sau:
\(x^2+ax+1=0\) và \(x^2+bx+c=0\) là 2 pt có nghiệm chung nên hệ pt sau có nghiệm (nhận xét quan trọng):
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+1=0\\x^2+bx+c=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)x=c-1\\x^2+ax+1=0\end{cases}}\)
Do \(a\ne b\) nên thay \(x=\frac{c-1}{a-b}\) xuống pt dưới được: \(\left(\frac{c-1}{a-b}\right)^2+\frac{a\left(c-1\right)}{a-b}+1=0\)
Hay \(\left(c-1\right)^2+a\left(c-1\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2=0\)
-----
\(x^2+x+a=0\) và \(x^2+cx+b=0\) có nghiệm chung thì hệ pt sau có nghiệm:
\(\hept{\begin{cases}x^2+x+a=0\\x^2+cx+b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(c-1\right)x=a-b\\x^2+x+a=0\end{cases}}}\)
Do \(a\ne b\) nên \(c\ne1\), thay \(x=\frac{a-b}{c-1}\) xuống pt dưới được:
\(\left(\frac{a-b}{c-1}\right)^2+\frac{a-b}{c-1}+a=0\) hay \(\left(a-b\right)^2+\left(a-b\right)\left(c-1\right)+a\left(c-1\right)^2=0\)
-----
Đặt \(x=a-b,y=c-1\)
Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}x^2+axy+y^2=0\\x^2+xy+ay^2=0\end{cases}\Rightarrow\left(a-1\right)xy=\left(a-1\right)y^2}\)
Nhớ rằng \(a=1\) không xảy ra vì khi đó \(x^2+ax+1=0\) vô nghiệm.
Vậy \(a\ne1\), do \(y\ne0\) nên \(x=y\). Tức là \(a-b=c-1\).
Tới đây quay lại mấy cái nghiệm chung sẽ thấy các nghiệm chung đều là \(1\).
Mà như vậy thì \(b+c=-1,a=-2\) nên \(a+b+c=-4\)
Biết phương trình: x2 + ax + bc = 0 và phương trình: x2 + bx + ac = 0 có 1 đúng nghiệm chung và \(a\ne b\ne c\) ; \(c\ne0\)
Chứng minh rằng: các nghiệm còn lại của hai phương trình trên là nghiệm của phương trình: x2 + cx + ab = 0
Gọi x0 là nghiệm chung của 2 phương trình
Ta có:\(x_0^2+ax_0+bc=0;x_0^2+bx_0+ca=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)x_0=c\left(a-b\right)\)
Mà \(a\ne b\Rightarrow x_0=c\)
Gọi các nghiệm của phương trình x2 +ax + bc = 0 và x2 + bx + ac = 0 là x1 và x2
Theo Viet ta có:\(x_0x_1=bc;x_0x_2=ca\)
Mà \(x_0=c\ne0\Rightarrow x_1=b;x_2=a\)
Do b;c là các nghiệm của phương trình x2 +ax + bc = 0 nên b+c=-a => -c=a+b => a,b là các nghiệm của phương trình:
x2 - ( a+b ) x + ab = 0 hay x2 + cx + ab = 0
Cho phương trình: f(x)=ax2+bx+c=0 trong đó a,b,c thuộc Z và a>0 có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng (0,1). tìm GTNN của a
phương trình delta
cho phương trình bậc 2:ax^2+bx+c=0 (a,b,c là số hữu tỉ và a khác 0).cho biết phương trình 1+√2 .tìm nghiệm phương trình
Cho a, b, c là 3 số phân biệt sao cho phương trình \(x^2+ax+1=0\) và \(x^2+bx+c=0\) có nghiệm chung. Đồng thời các phương trình \(x^2+x+a=0\) và \(x^2+cx+b=0\) cũng có nghiệm chung. Tính P = a + b + c