C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:

\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)

\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)

Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:

\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)

"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

chứng minh rằng với mọi x,y ∈Q ta luôn có: |x+y|≤|x|+|y|

༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻Tâm đường tròn ở đâu

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

https://hoc24.vn/cau-hoi/voi-0-xy-dfrac12-chung-minhdfracsqrtxy1dfracsqrtyx1-dfrac2sqrt23.461470553384

Xét \(\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\)

\(=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\)

\(=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\) (do \(x-1=1-y\))

\(\Leftrightarrow\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\)

+ Giả sử \(x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}\) và \(x\ge1\ge y\)

Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)

+ Tương tự nếu \(y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}\) và \(y\ge1\ge x\)

Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

Xét \left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)(x2012+y2012)−(x2011+y2011)

=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)=x2011(x−1)+y2011(y−1)

=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)=x2011(1−y)+y2011(y−1) (do $x-1=1-y$)

\Leftrightarrow\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)⇔(x2012+y2012)−(x2011+y2011)=(1−y)(x2011−y2011)

+ Giả sử x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}x≥y⇒x2011≥y2011 và $x\ge 1\ge y$

Do đó \left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0(1−y)(x2011−y2011)≥0 (Đpcm)

+ Tương tự nếu y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}y≥x⇒y2011≥x2011 và $y\ge 1\ge x$

Do đó \left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0(1−y)(x2011−y2011)≥0 (Đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

a) Với mọi x,y∈Q, ta luôn luôn có:

x ≤ |x| và − x ≤ |x| ; y ≤ |y| và − y <_|y|

Suy ra x+y ≤ |x|+|y| và −x−y ≤ |x|+|y|

hay x+y≥ − (|x|+|y|) x + y

Do đó −(|x|+|y|) ≤ x+y ≤|x|+|y|

Vậy |x+y| ≤ |x|+|y|