Gọi 2 số lẻ liên tiếp là 2k +1 và 2k +3 (k \(\varepsilon\)N)

Gọi ƯCLN(2k +1, 2k + 3) = d

=> 2k + 1 \(⋮\)d và 2k + 3\(⋮\)d

=> 2k + 3 - 2k -1 \(⋮\)d

=> 2\(⋮\)d. Mà 2k + 1 \(⋮\)d và 2k + 3\(⋮\)d và 2k + 1 và 2k + 3 đều lẻ

=> d = 1. Do đó: 2k + 1 và 2k + 3 nguyên tố cùng nhau => ĐPCM

bn k cho mk nhé.mk là người đầu tiên đó

Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp đó là n và n+1 (n thuộc N*)

và d thuộc ƯC(n,n+1)

 Ta có:n chia hết cho d

       n+1 chia hết cho d

 \(\Rightarrow n+1-n\)chia hết cho d hay 1 chia hết cho d\(\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{1\right\}\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n,n+1\right)=1\)

Vậy 2 STN liên tiếp là 2 SNT cùng nhau

gọi số thứ nhất là a, số thứ 2 là b, ta có:

a và b có chung UCLN đó là 1 (hai số a và b là hai số tự nhiên liên tiếp)

VD: a = 8, b = 9 có chung UCLN là 1

=> ĐPCM

Gọi d là ƯCLN của 11a +2b và 18a +5b

=> 11a +2b chia hết cho d và 18a +5b chia hết cho d

=> 18.﴾11a + 2b﴿ chia hết cho d và 11﴾18a + 5b﴿ chia hết cho d

=> 11﴾18a + 5b﴿ - 18.﴾11a + 2b﴿ chia hết cho d

=> 19 b chia hết cho d

=> 19 chia hết cho d hoặc b chia hết cho d ﴾1﴿

=> d là ước của 19 hoặc d là ước của b

Tương tự ta cũng có 5.﴾11a + 2b﴿ chia hết cho d và 2﴾18a + 5b﴿ chia hết cho d

=> 5.﴾11a + 2b﴿ - 2﴾18a + 5b﴿ chia hết cho d

=> 19a chia hết cho d => 19 chia hết cho d hoặc a chia hết cho d => d là ước của 19 hoặc d là ước của a﴾2﴿

Từ ﴾1﴿ và ﴾2﴿ suy ra d là ước của 19 hoặc d là ước chung của a và b => d = 19 hoặc d = 1

Vậy ƯCLN của 11a + 2b và 18a + 5b là 19 hoặc 1 

Gọi d là Ước chung lớn nhất của 11a + 2b và 18a + 5

=> 11a + 2b chia hết cho d

=> 18a + 5b chia hết cho d

=> 11( 18a + 5b ) - 18( 11a + 2b ) chia hết cho d

=> ( 198a + 55b ) - ( 198a + 36b ) chia hết cho d

=> 19b chia hết cho d ( 1 )

=> 5( 11a + 2b ) - 2( 18a + 5b ) chia hết cho d

=> ( 55a + 10b ) - ( 36a + 10b ) chia hết cho d

=> 19a chia hết cho d ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra 19 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(19)

=> d thuộc { 1 ; 19 }

Mà d là Ước chung lớn nhất của 11a + 2b và 18a + 5b

=> d = 19.

Gọi ƯCLN(3n+1;4n+1)=d

Ta có: 3n+1 chia hết cho d

=>4(3n+1) chia hết cho d

12n+4 chia hết cho d

có 4n+1 chia hết cho d

=>3(4n+1) chia hết cho d

12n+3 chia hết cho d

=>12n+4-(12n+3) chia hết cho d

1 chia hết cho d hay d=1

Do đó, ƯCLN(3n+1;4n+1)=1

Vậy với mọi nEN thì 3n+1 và 4n+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau