Lời giải:
Với mọi số tự nhiên $b$ thì $6b=3.2b\vdots 3$ nên để $n=5a+6b\vdots 3$ thì $5a\vdots 3$

Mà $5\not\vdots 3$ nên điều này xảy ra khi $a\vdots 3$ 

Vậy với mọi số tự nhiên $b$ và mọi số tự nhiên $a$ sao cho $a\vdots 3$ thì $n=5a+6b\vdots 3$

a)\(3n+5⋮3n-1\Rightarrow6+3n-1⋮3n-1\)

Mà \(3n-1⋮3n-1\Rightarrow6⋮3n-1\)

\(\Rightarrow3n-1\inƯ\left(6\right)\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

\(\Rightarrow3n\in\left\{-5;-2;-1;0;2;3;4;7\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{\frac{-5}{3};\frac{-2}{3};\frac{-1}{3};0;\frac{2}{3};1;\frac{4}{3};\frac{7}{3}\right\}\)

Mà \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;1\right\}\)

b)\(2n+3⋮2n-1\Rightarrow4+2n-1⋮2n-1\)

Mà \(2n-1⋮2n-1\Rightarrow4⋮2n-1\)

\(\Rightarrow2n-1\in\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow2n\in\left\{-3;-1;0;2;3;5\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{\frac{-3}{2};\frac{-1}{2};0;1;\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right\}\)

Mà \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;1\right\}\)

Hok Tốt!

Ta có: (n-1)/(n-6)=[(n-6)+5]/(n-6)=(n-6)/(n-6)+5/(n-6)=1+5/(n-6)

Vì 1 là số tự nhiên nên để n-1 chia hết cho 6 thì 5/(n-6) phải là số tự nhiên nên 5 phải chia hết cho n-6

Nghĩa là: n-6 thuộc ước của 5={1;5}

Do đó

Vậy với n thuộc {7;11} thì n-1 chia hết cho n-6

\(n^2+3\)chia hết cho n - 1

\(\Rightarrow\)\(n^2-1+4\) chia hết cho n - 1

\(\Rightarrow\)\(n^2-1^2+4\) chia hết cho n - 1

(n - 1)(n + 1) + 4 chia hết cho n - 1 (1)

Mà (n - 1)(n + 1) chia hết cho n - 1 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)4 chia hết cho n - 1\(\Rightarrow\)n - 1 \(\in\)Ư(4) = {1 ; 2 ; 4}

\(\Rightarrow\)n \(\in\){2 ; 3 ; 5}

1) \(\left(n+3\right)⋮\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)+2⋮\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\inƯ\left(2\right)=\left\{-2;-1;1;2\right\}\)

Do \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;1\right\}\)

2) \(\Rightarrow2\left(3n+4\right)+4⋮\left(3n+4\right)\)

\(\Rightarrow\left(3n+4\right)\inƯ\left(4\right)=\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\)

Do \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0\right\}\)

3) \(\Rightarrow2\left(3n+6\right)-9⋮\left(3n+6\right)\)

\(\Rightarrow\left(3n+6\right)\inƯ\left(9\right)=\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\)

Do \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{1\right\}\)

Tham khảo nhé:

$n=5a+4b$

a)

Để $n$ chia hết cho 2 thì $5a$ $⋮$ $2$ và $4b$ $⋮$ $2$.
mà $5a$ $⋮$ $2$ thì $a$ $⋮$ $2$

còn $4b$ $⋮$ $2$ thì luôn đúng.

Vậy để $n$ $⋮$ $2$ thì $a$ $⋮$ $2$, hay $a=\{2k,k\in N\}$ và $b\in N$

b)

Để $n$ chia hết cho 5 thì $5a$ $⋮$ $5$ và $4b$ $⋮$ $5$.
mà $5a$ $⋮$ $5$ thì luôn đúng

còn $4b$ $⋮$ $2$ thì $b$ $⋮$ $5$.

Vậy để $n$ $⋮$ $5$ thì $b$ $⋮$ $5$, hay $b=\{5k,k\in N\}$ và $a\in N$

c)

Để $n$ chia hết cho 10 thì $5a$ $⋮$ $10$ và $4b$ $⋮$ $10$.
mà $5a$ $⋮$ $10$ thì $a$ $⋮$ $2$

còn $4b$ $⋮$ $10$ thì $b$ $⋮$ $5$.

Vậy để $n$ $⋮$ $10$ thì $a$ $⋮$ $2$ và $b$ $⋮$ $5$,

hay $a=2k,b=5h;k,h\in N$

Giải thích:

Số chia hết cho 2 là số chẵn có dạng $2k,k\in Z$

Số chia hết cho 5 là số tận cùng là 0 và 5 hay là số có dạng $5k,k\in Z$

Số chia hết cho 10 là số chia hết cho cả 2 và 5 nên có dạng là $10k,k\in Z$

THAM KHẢO nhé:

$n=5a+4b$

a)

Để $n$ chia hết cho 2 thì $5a$ $⋮$ $2$ và $4b$ $⋮$ $2$.
mà $5a$ $⋮$ $2$ thì $a$ $⋮$ $2$

còn $4b$ $⋮$ $2$ thì luôn đúng.

Vậy để $n$ $⋮$ $2$ thì $a$ $⋮$ $2$, hay $a=\{2k,k\in N\}$ và $b\in N$

b)

Để $n$ chia hết cho 5 thì $5a$ $⋮$ $5$ và $4b$ $⋮$ $5$.
mà $5a$ $⋮$ $5$ thì luôn đúng

còn $4b$ $⋮$ $2$ thì $b$ $⋮$ $5$.

Vậy để $n$ $⋮$ $5$ thì $b$ $⋮$ $5$, hay $b=\{5k,k\in N\}$ và $a\in N$

c)

Để $n$ chia hết cho 10 thì $5a$ $⋮$ $10$ và $4b$ $⋮$ $10$.
mà $5a$ $⋮$ $10$ thì $a$ $⋮$ $2$

còn $4b$ $⋮$ $10$ thì $b$ $⋮$ $5$.

Vậy để $n$ $⋮$ $10$ thì $a$ $⋮$ $2$ và $b$ $⋮$ $5$,

hay $a=2k,b=5h;k,h\in N$

Giải thích:

Số chia hết cho 2 là số chẵn có dạng $2k,k\in Z$

Số chia hết cho 5 là số tận cùng là 0 và 5 hay là số có dạng $5k,k\in Z$

Số chia hết cho 10 là số chia hết cho cả 2 và 5 nên có dạng là $10k,k\in Z$