a)Ta có ; để A thuộc N <=> (2n+5) chia hết cho (3n+1)

<=> 3(2n+5) chia hết cho (3n+1)

<=>(6n+15) chia hết cho (3n+1)

<=> (6n + 2 +13) chia hết cho (3n+1)

<=> 13 chia hết cho (3n+1)

=> (3n+1) thuộc Ư(13)

Vì n thuộc N

=> (3n+1) = 1,13

=> n = 0 hoặc 4

b)Trong phần này ta sẽ áp dung 1 tính chất sau:

a/b < (a+m)/(b+m)      với a<b

Ta thấy :

x/(x+y)  >  x/(x+y+z)

y/(y+z) > y/(x+y+z)

z/(z+x) > z/(x+y+z)

=> A > x/(x+Y+z) + y/(x+y+z) + z/(x+y+z)

=> A>1

Ta thấy :

x/x+y < (x+z)/(x+y+z)

y/y+z < (y+x)/(x+y+z)

z/z+x < (z+y)/(x+y+z)

=> A < (x+z)/(x+y+z) +(y+x)/(x+y+z) +(z+y)/(x+y+z)

=>A< 2(x+y+z)/(x+y+z)

=> A<2

=>1<A<2

=> A ko phải là số nguyên(đpcm)

1) Ta có :

+ a=1.2.3.4....101 chia hết cho 2 ; 2 cũng chia hết cho 2. Vậy 1.2.3.4...101+2 chia hết cho 2. Vì nó lớn hơn 2 nên nó là hợp số.

+a=1.2.3.4.....101 chia hết cho 3 ; 3 cũng chia hết cho 3. Vậy 1.2.3.4....101+3 chia hết cho 3. Vì nó lớn hơn 3 nên nó là hợp số.

........ ( cứ như thế )

+a=1.2.3.4....101 chia hết cho 101 ; 101 cũng chia hết cho 101. Vậy 1.2.3.4.....101+101 chia hết cho 101. Vì nó lớn hơn 101 nên nó là hợp số.

=> a=1.2.3.4......101 là hợp số.

k nha !!!!!

1.

\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)

\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)

\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)

Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)

\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)

\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)

\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)

\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)

\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)

\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)

Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)

2.

Đặt \(A=9^n+62\)

Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)

Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)

Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\)  và \(6m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)

\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)

\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)

Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp