Đặt \(2377-9y^2-6y=x^2\Leftrightarrow\left(3y+1\right)^2=2378-x^2\)

\(\Rightarrow\left(3y+1\right)^2\le2378< 2401=49^2\)

Từ đó suy ra được \(-49\le3y+1\le49\Leftrightarrow-16\le y\le16\)

Vậy y thuộc khoảng trên. Bạn tự liệt kê ra nhé ^^

\(\Rightarrow y^2\left(x+y^4+2y^2\right)=x.x=\left(-x\right)\left(-x\right)=1.x^2=x^2.1\)

Đến đây bạn xét từng TH ra.

Đây là cách đơn giản mà phức tạp nhất, chỉ nên sử dụng khi hết cách.

ta có :

x² = y² (x + y⁴ + 2y² )

<=> x² -xy² -y⁶ -2y⁴ =0

△= b² -4ac

= y⁴ -4(-y⁶ -2y⁴ )

=9y⁴ +4y⁶ >=0 (mũ chẵn luôn luôn >=0)

=> pt có 2 nghiệm

x₁ = (-b +√△)/2a = (y⁴ +√9y⁴ +4y⁶)/2

x₂ = (-b - √△)/2a = (y⁴ - √9y⁴ +4y⁶)/2

dùng máy tính lập bảng để tìm nghiệm ta có : x= 12, y=2

Ta có:\(x\left(x^2+x+1\right)=4y\left(y-1\right)\)      (*)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=4y^2-4y+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=\left(2y-1\right)^2\)     \(\left(1\right)\)

Gọi \(d\inƯC\left(x+1;x^2+1\right)\)với \(d\in Z\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+1⋮d\\x^2+1⋮d\end{cases}\Rightarrow x^2+1-x\left(x+1\right)⋮d}\)

\(\Rightarrow1-x⋮d\)

\(\Rightarrow1-x+x+1⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1;\pm2\right\}\)

Mà \(\left(2y-1\right)^2\)là số chính phương lẻ nên x+1 và x²+1 cũng là số lẻ

\(\Rightarrow d=\pm1\)

\(\Rightarrow x+1\)và \(x^2+1\)nguyên tố cùng nhau

Do đó để phương trình có nghiệm thì x+1 và x²+1 cũng là số chình phương

Giả sử: + \(x^2+1=m^2\)

\(\Rightarrow m^2-x^2=1\)

\(\Rightarrow x=0\)(bạn tự tính)

    +\(x+1=n^2\)

\(\Rightarrow x=0\)(bạn tự tính)

Thay x=0 vào phương trình (*)=> y=-1;0

Vậy.......

\(\hept{\begin{cases}3x-y=2m+3\\x+2y=3m+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6x-2y=4m+6\\x+2y=3m+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m+1\\y=m\end{cases}}\)khi đó: \(^{x^2+y^2=5\Leftrightarrow2m^2+2m+1=5\Leftrightarrow2m^2+2m-4=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=-2\end{cases}}}\)