\(0\le x,y,z\le1\) nên \(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0\right);\left(0,0,1\right);\left(0,1,0\right);\left(1,0,0\right);\left(1,0,1\right);\left(0,1,1\right);\left(1,1,1\right);\left(1,1,0\right)\)

thay các giá trị trên vào bt \(x+y+z-xy-yz-xz\) đều thấy t/mãn nó \(\le1\)

ko chắc vì đề chưa cho x,y,z nguyên

Ta có 

x + y + z - xy - yz - xz \(\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)+\left(xy-y\right)+\left(yz-xyz\right)+\left(xz-z\right)+xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)+xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(\left(1-y\right)+\left(-z+yz\right)\right)+xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)+xyz\ge0\)

Đúng vì theo đề ta có: \(\hept{\begin{cases}1-x\ge0\\1-y\ge0\\1-z\ge0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{cases}}\)

Vậy ta có ĐPCM

\(Do\)\(x;y\le1\Rightarrow x\ge xy\Rightarrow x-xy\ge0\)

Tương tự cộng vào đc ... >=0

Xét \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow1-\left(x+y+x\right)+\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx\le1-xyz\le1\)

Ta có: \(\left(x-\sqrt{yz}\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+yz\ge2x\sqrt{yz}\)(Dấu "="\(\Leftrightarrow x^2=yz\))

Theo đề: x + y + z = 3\(\Rightarrow3x+yz=\left(x+y+z\right)x+yz=x^2+yz+x\left(y+z\right)\)\(\ge x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}\)

Suy ra \(\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x\left(y+z\right)+2x\sqrt{yz}}=\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

và \(x+\sqrt{3x+yz}\ge\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Tương tự ta có: \(\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\);\(\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Cộng từng vế của các BĐT trên,ta được:

\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\)\(+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}\)\(+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=1\))

We have:

\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\Sigma_{cyc}\frac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}}{\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+1}\)

Dat \(\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}};\frac{y}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}};\frac{z}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\right)=\left(a;b;c\right)\)

Consider:

\(\Sigma_{cyc}\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\Sigma_{cyc}\frac{\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}}{2}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\)

Now we need to prove:

\(\Sigma_{cyc}\frac{a}{a+1}\le1\)

\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1}\ge2\left(M\right)\)

\(VT_M\ge\frac{9}{a+b+c+3}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}+3}=2\)

Sign '=' happen when \(\hept{\begin{cases}x=y=z=1\\a=b=c=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

theo BĐT Bunhiacopski ta có:

\(\sqrt{3x+yz}=\sqrt{\left(x+y+z\right)\cdot x+yz}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại:

\(LHS\le\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1

ủa đây là toám lớp 1 hả anh

cauchy phần mẫu @@

Forever_Alone tên là Anh nhưng ko bt họ

vì 0<x,y,z\(\le\)1 nên (1-x)(1-y) >=0 <=> 1+xy >= x+y

<=> 1+z+xy >= x+y+z

<=> \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\left(1\right)\)

tương tự có \(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\left(2\right);\frac{z}{1+x+xy}\le\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)

cộng theo vế của (1), (2), (3) ta được

\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

\(\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\text{Σ}\frac{x}{x^2+xy+zx}=\text{Σ}\frac{x}{x\left(x+y+z\right)}=\frac{3}{x+y+z}\)

Do \(1\ge x^2\)và \(y\ge xy\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1

Xét biểu thức:\(\frac{x}{1+y+zx}-\frac{1}{x+y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)-\left(1+y+zx\right)}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{x^2+xy-1-y}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+1\right)\left(x-1\right)}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}\le0\)(Đúng vì \(x,y,z>0;x\le1\))

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}\le\frac{1}{x+y+z}\)

Tương tư, ta có: \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{1}{x+y+z}\); \(\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{1}{x+y+z}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1