\(P=\dfrac{1}{2}\sqrt{4a\left(b+3\right)}+\dfrac{1}{2}\sqrt{4b\left(a+3\right)}\)

\(P\le\dfrac{1}{4}\left(4a+b+3\right)+\dfrac{1}{4}\left(4b+a+3\right)\)

\(P\le\dfrac{1}{4}\left(5a+5b+6\right)\le\dfrac{1}{4}\left(5.2+6\right)=4\)

\(P_{max}=4\) khi \(a=b=1\)

Ta có:

\(VT^3=\left(\sqrt[3]{\sqrt{a}.\sqrt{a}.\left(a^2+7bc\right)}+\sqrt[3]{\sqrt{b}.\sqrt{b}.\left(b^2+7ca\right)}+\sqrt[3]{\sqrt{c}.\sqrt{c}.\left(c^2+7ab\right)}\right)^3\)

\(\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\left(a^2+b^2+c^2+7ab+7bc+7ca\right)\)

\(\le3\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2+\frac{5}{3}\left(a+b+c\right)^2\right]\)

\(=8\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow VT\le2\left(a+b+c\right)\)

Holder à bạn ?

Lời giải:

Áp dụng BĐT Holder:

\((\sqrt[3]{a^3+7abc}+\sqrt[3]{b^3+7abc}+\sqrt[3]{c^3+7abc})^3\leq (a+b+c)(a^2+7bc+b^2+7ac+c^2+7ab)(1+1+1)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt[3]{a^3+7abc}+\sqrt[3]{b^3+7abc}+\sqrt[3]{c^3+7abc})^3\leq 3(a+b+c)(a^2+7bc+b^2+7ac+c^2+7ab)\)

Ta cần chứng minh:

\(3(a+b+c)(a^2+7bc+b^2+7ac+c^2+7ab)\leq 8(a+b+c)^3\)

\(\Leftrightarrow 3(a^2+7bc+b^2+7ac+c^2+7ab)\leq 8(a+b+c)^2(*)\)

Thật vậy:

Theo hệ quả của BĐT AM-GM thì \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\)

Do đó:

\(3(a^2+7bc+b^2+7ac+c^2+7ab)=3[(a+b+c)^2+5(ab+bc+ac)]\)

\(\leq 3[(a+b+c)^2+\frac{5}{3}(a+b+c)^2]=8(a+b+c)^2\)

\((*)\) đúng, ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Lời giải:

Đặt \(\sqrt[3]{a}=x; \sqrt[3]{b}=y\). Khi đó ta có $x^3+y^3=2$ và cần chứng minh \(0< x+y\leq 2\).

Thật vậy.

Ta thấy: \(x^3+y^3=2>0\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)>0(1)\)

Mà \(x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}\geq 0(2)\)

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra \(x+y>0\)

Lại có:

\(4(x^3+y^3)-(x+y)^3=3(x^3+y^3)-3(x^2y+xy^2)\)

\(=3[x^2(x-y)-y^2(x-y)]=3(x-y)^2(x+y)\)

Vì $x+y>0$ (cmt) và $(x-y)^2\geq 0$ nên \(4(x^3+y^3)-(x+y)^3\geq 0\)

\(\Rightarrow 4(x^3+y^3)\geq (x+y)^3\) hay \(8\geq (x+y)^3\Rightarrow x+y\leq 2\)

Ta có đpcm.

Đặt 4 căn thức lần lượt là \(\left(x;y;z;t\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+t^2=3\)

Ta cần chứng minh: \(x+y+z+t\le2\sqrt{3}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\left(x+y+z+t\right)^2\le\left(1+1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)=12\)

\(\Rightarrow x+y+z+t\le2\sqrt{3}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\frac{1}{4}\)

P/s: việc đặt chỉ để viết cho ngắn, còn thực chất bạn áp dụng luôn Buniacopxki cho 1 dòng cũng được

Có \(a+1+1\ge3\sqrt[3]{a}\)

     \(b+1+1\ge3\sqrt[3]{b}\)

\(\Rightarrow a+b+1+1+1+1\ge3\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\le6\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\le2\)

"=" tại a=b=1