nếu a,b,c là số tự nhiên thì vế trái là 1 số chia hết cho 3, vế phải là số không chia hết cho 3, do đó ko có 3 số tự nhiên a,b,c nào thỏa mãn được điều kiện trên.

Thay \(b^2=a.c\) vào biểu thức

\(\frac{a^2+a.c}{a.c+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)

Ta có:

\(b^2=ac\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{2014b}{2014c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{2014b}{2014c}=\frac{a+2014b}{b+2014c}=\left(\frac{a+2014b}{b+2014c}\right)^2\)   (1)

Ta lại có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\)   (2)

Từ (1) và (2)

=> đpcm

+ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{3a}{3c}=\frac{b}{d}=\frac{3a+b}{3c+d}\) \(\Rightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)

+ \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a\cdot b}{c\cdot d}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\Rightarrow\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

câu cuối lm tương tự