Bài giải            

Vì BCNN(a,b) . ƯCLN(a,b) =a . b

mà BCNN = 60

      Tích = 360

=) ƯCLN = 360 : 60 = 6

Đặt a = 6 . a`            ;               b = 6 . b`

=)ƯCLN(a` , b`) = 1

=)a . b 6 . a` . 6 .b` = 36 . a` . b` = 360

a`             1                   2                      5                      10

b`             10                 5                      2                       1

=)a` = 1   ; b` = 10  thì a = 1 . 6 ; b = 10 .6   ; a = 6  ; b = 60 ; tích a . b = 360

=)a` = 2   ; b` = 5   thì  a = 2 . 6 ;b  = 5 . 6   ; a = 12 ; b = 30 ; tích a . b = 360                                     

=)a` = 5   ; b` = 2   thì  a = 5 . 6 ;b  = 2 . 6   ; a = 30 ; b = 12 ; tích a . b = 360                                                 

=)a` = 10 ; b` = 1   thì  a = 10.6 ; b = 1 . 6    ; a = 60 ; b = 6  ; tích a . b  =360                     

Vậy a = 6  thì b = 60 

       a = 12 thì b = 30

       a = 30 thì b = 12

       a = 60 thì b =6                                            

nhg a có thể >b hoặc b>a mà

Theo đề bài ta có: a*b=360; bcnn(a,b)=60

Ta có: a*b=ƯCLN(a,b).BCNN(a,b)

         => 360=ƯCLN(a,b).60

        =>   ƯCLN(a,b)= 360:60

        =>   ƯCLN(a,b)=6

        =>a=6m;b=6n;  ƯCLN(m,n) =1    

       do đó a.b = 6m.6n = 36.m.n (1)

       mà a.b=360 (2)

Từ (1)và(2) => 36m.n=360

                =>m.n= 360:36

                =>m.n= 10

=> n thuộc Ư(10), m thuộc Ư(10)

mà Ư(10)={1,2,5,10}

Ta có bảng sau:

Vậy a thuộc {60,30,12,6}

       b thuộc {6,12,30,60}

a) Đặt a = 15m ; b = 15n  ; (m,n) = 1

Khi đó ta có : BCNN(a;b) = 15mn = 2100.15 = 31500

Vậy thì mn = 2100 = 2².3.5².7 = 1.2100 = 4.525 = 3.700 = 25.84 = 7.300 = 12.175 = 100.21 = 28.75

Vậy nên  ta có các cặp (a;b) thỏa mãn là: (15, 31500) ; (31500 , 15) ; ( 60 , 7875) ; (7875 , 60) ; (45 , 10500) ; (10500 , 45) ; (375 , 1260) ; (1260 , 375) ; (105 , 1500) , (1500 , 105) ; (180, 2625) ; (2625 , 180) ; (1500 , 315) ; (315, 1500) ; (420 , 1125) ; (1125 , 420).

b)  Đặt d = (a,b). Khi đó a = dm ; b = dn  ; (m,n) = 1

Ta có dm.dn = 180 và dmn = 20.d

Vậy thì mn = 20 và d² = 180 : 20 = 9

Vậy thì d = 3.

Ta có mn = 20 = 2².5 = 1.20 = 4.5

Vậy nên cá cặp số (a;b) thỏa mãn là:  (3,60) ; (60, 3) ; (12, 15) ; (15, 12).

You shouldn't have done that

 Bài giải : 

a) Đặt a = 15m ; b = 15n  ; (m,n) = 1

Khi đó ta có : BCNN(a;b) = 15mn = 2100.15 = 31500

Vậy thì mn = 2100 = 2².3.5².7 = 1.2100 = 4.525 = 3.700 = 25.84 = 7.300 = 12.175 = 100.21 = 28.75

Vậy nên  ta có các cặp (a;b) thỏa mãn là: (15, 31500) ; (31500 , 15) ; ( 60 , 7875) ; (7875 , 60) ; (45 , 10500) ; (10500 , 45) ; (375 , 1260) ; (1260 , 375) ; (105 , 1500) , (1500 , 105) ; (180, 2625) ; (2625 , 180) ; (1500 , 315) ; (315, 1500) ; (420 , 1125) ; (1125 , 420).

b)  Đặt d = (a,b). Khi đó a = dm ; b = dn  ; (m,n) = 1

Ta có dm.dn = 180 và dmn = 20.d

Vậy thì mn = 20 và d² = 180 : 20 = 9

Vậy thì d = 3.

Ta có mn = 20 = 2².5 = 1.20 = 4.5

Vậy nên cá cặp số (a;b) thỏa mãn là:  (3,60) ; (60, 3) ; (12, 15) ; (15, 12).

Vì : \(a.b=2400;BCNN\left(a,b\right)=120\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)=2400\div120=20\)

Ta có : \(a=20.k_1;b=20.k_2\)

Trong đó : \(ƯCLN\left(k_1,k_2\right)=1\)

Mà : \(a.b=2400\)

\(\Rightarrow20.k_1.20.k_2=2400\Rightarrow\left(20.20\right).\left(k_1.k_2\right)=2400\)

\(\Rightarrow400.\left(k_1.k_2\right)=2400\Rightarrow k_1.k_2=2400\div400=6\)

+) Nếu : \(k_1=1\Rightarrow k_2=6\Rightarrow a=20;b=120\)

+) Nếu : \(k_1=2\Rightarrow k_2=3\Rightarrow a=40;b=60\)

Vậy ...

Ta có: ab = BCNN(a,b).ƯCLN(a,b)

Thay ab = 2400, BCNN(a,b) = 120, ta có:

2400 = 120.ƯCLN(a,b)

=> (a,b) = 2400 : 120

=> (a,b) = 20

Vì (a,b) = 20 nên a$=\; 20m\; ;\; b\; =\; 20n\; với\; (m,n)\; =\; 1$

$Mà\; ab\; =\; 2400\; nên\; 20m20n\; =\; 2400$

$=>\; (20.20)mn\; =\; 2400$

$=>\; 400mn\; =\; 2400$

$=>\; mn\; =\; 2400\; :\; 400\; =\; 6$

$Giả\; sử\; a\; >\; b\; thì\; m\; >\; n$

$Mà\; (m,n)\; =\; 1$

$=>\; Ta\; có\; bảng\; giá\; trị\; của\; m\; và\; n\; thỏa\; mãn\; là:$

Từ đó ta có bảng giá trị của a và b tương ứng:

Vậy các cặp giá trị a và b thỏa mãn là: 120 và 20 ; 60 và 40
 

Ta có : \(ab=\left(a;b\right)\left[a;b\right]\)

→ \(2400=\left(a;b\right)\cdot120\)

→ \(\left(a;b\right)=2400\) : \(120=20\)

Ta lại có : \(\left(a;b\right)=20\)

→ \(\begin{cases}a⋮20\\b⋮20\end{cases}\)

→ \(\begin{cases}a=20m\\b=20n\end{cases}\) \(\left(m;n\right)=1\) ; \(m;n\) ϵ \(N\) *

Vì a và b có vai trò như nhau nên ta giả sử \(a\ge b\) → \(m\ge n\)

→ \(ab=20m\cdot20n\)

→ \(2400=400mn\)

→ \(mn=6=1\cdot6=2\cdot3\)

Ta có bảng sau :

Vậy \(\left(a;b\right)=\left\{\left(120;20\right);\left(60;40\right)\right\}\)