Câu này em đã hỏi rồi

1.Tìm GTNN của Bthức : B= 4x2- 6x+1 : (x-2)2    với x ≠ 22. Tìm GTLN của Bthức: C= x2 + 4x - 14  : x2 -2x +1  với x≠ 1gi... - Hoc24

\(M=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{1-\sqrt{x}}\right)\div\dfrac{\sqrt{x}-1}{2}\)

(ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\))

\(=\left[\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right]\times\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{\left(x+2\right)+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\times\dfrac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{1}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(M=\dfrac{1}{\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 0

đk : x>= 1 

Q = \(\sqrt{x-1}-12\)

với \(x\ge1\Leftrightarrow x-1\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-12\ge12\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 1 

Max : với x = 0 thì \(A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=0\)

với x khác 0 thì x⁴ + 1 \(\ge\)2x² > 0 nên x⁴ + x² + 1 \(\ge\)3x² 

\(\Rightarrow\)\(A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\le\frac{x^2}{3x^2}=\frac{1}{3}\)

Vậy max A = \(\frac{1}{3}\)\(\Leftrightarrow\)x = 1 hoặc -1

Min : Ta có : x⁴ + x² + 1 = ( x²+ 1 )² - x² = ( x² - x + 1 ) ( x² + x + 1 ) > 0 

\(\Rightarrow\)\(A\ge0\)( vì x² \(\ge\)0 )

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((\sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz})^2=(\sqrt{x}.\sqrt{x+yz}+\sqrt{y}.\sqrt{y+xz}+\sqrt{z}.\sqrt{z+xy})^2\)

\(\leq (x+y+z)(x+yz+y+xz+z+xy)=xy+yz+xz+1\)

\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz}\leq \sqrt{xy+yz+xz+1}\)

\(\Rightarrow A\leq \sqrt{xy+yz+xz+1}+9\sqrt{xyz}\)

The BĐT AM-GM (Cô-si) thì:

\(1=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow xyz\leq \frac{1}{27}\)

\(x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+xz\Rightarrow (x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow A\leq \sqrt{\frac{1}{3}+1}+9\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(A_{\max}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)