Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{ab}{b}=\frac{bc}{c}=\frac{ca}{a}=\frac{ab+bc+ca}{b+c+a}=\frac{\left(10a+b\right)+\left(10b+c\right)+\left(10c+a\right)}{a+b+c}=\frac{11.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=11\)

\(\Rightarrow\begin{cases}ab=11b\\bc=11c\\ca=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a+b=11b\\10b+c=11c\\10c+a=11a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}10a=10b\\10b=10c\\10c=10a\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\)

=> a = b = c (đpcm)

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

\(\frac{ab+bc}{a+b}=\frac{bc+ca}{b+c}=\frac{ca+ab}{c+a}=\frac{ab+bc+bc+ca+ca+ab}{a+b+b+c+c+a}=\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\)

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta lại có

\(\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}=\frac{ab}{a}+\frac{bc}{b}+\frac{ca}{c}=\frac{ab}{a}=\frac{bc}{b}=\frac{ca}{a}\)

Từ \(\frac{ab}{a}=\frac{bc}{b}=\frac{ca}{c}\Rightarrow\frac{b}{1}=\frac{c}{1}=\frac{a}{1}\Rightarrow b=c=a\)

vậy a=b=c (đpcm)

    Bao nhiêu **** cho hình này !!!!?????????????????/ Tick mạnh vô ae ơi 

Bunhiacopxki:

\(\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)\ge\left(ab+bc+ca\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{ab}{a^2+bc+ca}\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Tương tự: \(\dfrac{bc}{b^2+ca+ab}\le\dfrac{bc\left(c^2+ca+ab\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(\dfrac{ca}{c^2+ab+bc}\le\dfrac{ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\le\dfrac{a^2+c^2+c^2}{ab+bc+ca}\)

\(\Leftrightarrow ab\left(b^2+bc+ca\right)+bc\left(c^2+ca+ab\right)+ca\left(a^2+ab+bc\right)\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Nhân phá và rút gọn 2 vế:

\(\Leftrightarrow a^3b+b^3c+c^3a\ge abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3b+b^3c+c^3a}{abc}\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge a+b+c\)

Đúng do: \(\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

dạng này thì chỉ có quy đồng thôi nhé mặc dù quy đồng chưa ra

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

\(\sum\dfrac{a}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab^2+abc+ac^2+bc^2+abc+ba^2+ca^2+abc+cb^2}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{a+b+c}{ab+bc+ac}\)

Đúng rầu đấy

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{a}+\sqrt{a}+a^2\geq 3\sqrt[3]{a^3}=3a$

$\sqrt{b}+\sqrt{b}+b^2\geq 3\sqrt[3]{b^3}=3b$

$\sqrt{c}+\sqrt{c}+c^2\geq 3\sqrt[3]{c^3}=3c$

Cộng theo vế 2 BĐT trên thu được:

$2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a+b+c)=(a+b+c)^2$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ac$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

Câu hỏi của Nguyễn Xuân Đình Lực - Toán lớp 9 | Học trực tuyến