TH1 : a,b,c \(\ne\)0

Áp dụng tính chất DTSBN ta có :

\(\frac{a}{b}\)=\(\frac{b}{c}\)=\(\frac{a+b}{b+c}\)

=> a+b=2012 , a+b=c  => c=2012

     b+c=a , b+c=2012 => a=2012

=> b= 0

=> a-b+c = 4024

TH2 : a=b=c=0

=>  Vô lý dễ thấy vì a,b,c \(\ne\)0 từ các phân số đã cho

Vậy a-b+c = 4024

Th1 của mình có b=0 vô lý nhé bạn nên chắc không có a,b,c đâu

\(\text{ Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow\frac{2012}{b}=1\Rightarrow b=2012\)

\(\Rightarrow\frac{b}{c}=1\Rightarrow\frac{2012}{c}=1\Rightarrow c=2012\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

=>\(\frac{a}{b}=1\)=>a=b           (1)

=>\(\frac{b}{c}=1\)=>b=c             (2)

=>\(\frac{c}{a}=1\)=>c=a             (3)

Từ (1),(2) và (3) => a=b=c=2012

Vì \(a,b,c\in\text{N*}\)nên

\(\hept{\begin{cases}a\ge1\\b\ge1\\c\ge1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b\ge2\\b+c\ge2\\c+a\ge2\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2}{a+b}\le1\\\frac{2}{b+c}\le1\\\frac{2}{c+a}\le1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1-\frac{2}{a+b}\ge0\\1-\frac{2}{b+c}\ge0\\1-\frac{2}{c+a}\ge0\end{cases}\left(1\right)}\)

Theo đề bài ta có:

\(a+b+c=\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow a\left(1-\frac{2}{b+c}\right)+b\left(1-\frac{2}{c+a}\right)+c\left(1-\frac{2}{a+b}\right)=0\)

Ma theo (1) thì \(a\left(1-\frac{2}{b+c}\right)+b\left(1-\frac{2}{c+a}\right)+c\left(1-\frac{2}{a+b}\right)\ge0\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^{2012}=\dfrac{a^{2012}}{c^{2012}}=\dfrac{b^{2012}}{d^{2012}}=\dfrac{a^{2012}+b^{2012}}{c^{2012}+d^{2012}}\) (đpcm)

Em mới lớp 6 thui! Anh thông cảm em ko giải đc!

minh cung the

xét các số có mũ lên vẫn bằng chính nó có -1 và 1.mà -1+1+1=1.nên ta suy ra:a=-1;b=1;c=1.thay vào biểu thức:-1^2011+1^2012+1^2013=1.vậy a^2011+b^2012+c^2013=1.đề dài nên nhiều người lười làm.tick ra thi khó gì

\(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2012}}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\le\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\ge-\dfrac{1}{3}\)

Lại có:

\(a^{2013}+a^{2013}+...+a^{2013}\left(\text{2012 số hạng}\right)+1\ge2013\sqrt[2013]{\left(a^{2013}\right)^{2012}}=2013.a^{2012}\)

\(\Rightarrow2012.a^{2013}+1\ge2013.a^{2012}\)

Tương tự: \(2012.b^{2013}+1\ge2013.b^{2012}\) ; \(2012.c^{2013}+1\ge2013.c^{2012}\)

Cộng vế với vế:

\(\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}\ge\dfrac{2013\left(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\right)-3}{2012}\)

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2013\left(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\right)-3}{2012\left(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\right)}=\dfrac{2013}{2012}-\dfrac{3}{2012}.\dfrac{1}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\ge\dfrac{2013}{2012}-\dfrac{3}{2012}.\dfrac{1}{3}=1\)

\(A_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)

\(A=\left(a^{2012}-a^{2008}\right)+\left(b^{2012}-b^{2008}\right)+\left(c^{2012}-c^{2008}\right)\)

\(=a^{2008}\left(a^4-1\right)+b^{2008}\left(b^4-1\right)+c^{2008}\left(c^4-1\right)\)

=> A là số chẵn => A chia hết cho 2

Nếu a,b,c là các số chẵn thì dễ thấy A là số chẵn => A chia hết cho 2

Vậy A chia hết cho 2

Xét số tự nhiên n không chia hết cho 5 , chứng minh n⁴-1 chia hết cho 5

Ta có : \(n=5k\pm1,n=5k\pm2\)với k là số tự nhiên

\(n^2\)có một trong hai dạng \(n^2=5k+1\)hoặc \(n^2=5k+4\)

\(n^4\)có dạng duy nhất : \(n^4=5k+1\Rightarrow n^4-1⋮5\)

Áp dụng với n = a,b,c được A chia hết cho 5

Xét với n là số chính phương thì n² chia 3 dư 0 hoặc 1

Do đó, nếu n² chia 3 dư 0 thì dễ thấy A chia hết cho 3 với n = a,b,c

Nếu n² chia 3 dư 1 thì n⁴ chia 3 dư 1 => n⁴-1 chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 với n = a,b,c

Vậy n chia hết cho 2,3,5 mà (2,3,5) = 1 => A chia hết cho 30