Ta có : $S_{ABC}=S_{DAB}+S_{DAC}$

$\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AB.AD.sin{45}^o+\frac{1}{2}AC.AD.sin{45}^o=\frac{1}{2}AD.sin{45}^o\left(AB+AC\right)$

$\iff \frac{AB+AC}{AB.AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\iff \frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$

Đặt AB=b, AC=a,AD=d vậy ta CM : 1/c+1/b=\(\sqrt{2}\)/d

Từ D hạ DH vuông AC tại H và DM vuông AB tại M, dễ dàng CM được AHDM là hình vuông. => HD=DM=d.sin45 = \(\frac{d}{\sqrt{2}}\) 

Ta có S(ABC) = S(ACD) + S(ABD) 

<=> b.c/2 = HD.b/2 + DM.c/2  <=> bc = \(\frac{bd+cd}{\sqrt{2}}\)<=> \(\sqrt{2}\)bc = bd + cd

Chia 2 vế cho b.c.d ta có pt cần CM

1) Gọi AE là tia phân giác góc ngoài của tam giác tại A (E thuộc BC)

Ta có : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=S_{ABD}+S_{ACĐ}=\frac{1}{2}AB.AD.sin45+\frac{1}{2}AC.AD.sin45\)

\(\Rightarrow AB.AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(AB+AC\right).AD\Rightarrow\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

mk mới hoc lớp 6 thôi

Trên tia đối của AC lấy điểm I sao cho AI=AB

=> tam giác IAB vuông cân tại A

=> góc ABI=BAD=45 độ

=> BI // AD

theo pitago ta có:IA²+AB²=IB² => IB²=2*AB²=> IB=\(\sqrt{2}\)*AB

                     và CI=CA+IA=CA+AB

áp dụng định lý ta-lét: AD/BI=CA/CI

                              hay   BI/AD=CI/AC   => \(\frac{AB\cdot\sqrt{2}}{AD}\)=\(\frac{AC+AB}{AC}\)

                                                               <=> \(\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)(đpcm)