\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab+1=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{ab+1}=a+b\in Q\left(Q.E.D\right)\)

\(M=\sqrt{\frac{\left(a^2+2020\right)\left(b^2+2020\right)}{c^2+2020}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+ab+bc+ac\right)\left(b^2+ab+bc+ac\right)}{c^2+ab+bc+ac}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

\(=a+b\) là 1 số hữu tỉ

=> M là 1 số hữu tỉ (đpcm)

thay 1 bởi ab+bc+ca

ta có :Q=\(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)

ta thấy \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

       \(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

        \(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

=> Q= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\)=\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)là một số hữu tỉ vì a,c,b là các số hữu tỉ

Với ab + ac + bc = 1
Ta có :
$a2+1=a^2+ab+ac+bc=(a^2+ab)+(ac+bc)$

$=a(a+b)+c(a+b)=(a+c)(a+b)$

Tương tự, ta có:
$b^2+1=(b+a)(b+c)$ 
$c^2+1=(c+a)(c+b)$

Do đó: 
$\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}=\sqrt{(a+c)(a+b)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)}$

$=\sqrt{(a+b{)}^2(a+c{)}^2(b+c{)}^2}=|(a+b)(a+c)(b+c)|$

Do a, b, c là số hữu tỷ, do đó :
$|(a+b)(a+c)(b+c)|$ là số hữu tỷ. (đpcm)

Chúc bạn có 1 ngày vui vẻ!!!

\(\frac{ab+2}{a^0}\)biểu thức hữu tỉ :)))

Đặt a+b=s và ab=p. Ta có : \(a^2+b^2+\left(\frac{ab+2}{a+b}\right)^2=4\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2ab+\frac{\left(ab+2\right)^2}{\left(a+b\right)^2}=4\)

\(\Leftrightarrow s^2-2p+\frac{\left(p+2\right)^2}{s^2}=4\Leftrightarrow s^4-2ps^2+\left(p+2\right)^2=4s^2\)

\(\Leftrightarrow s^4-2s^2\left(p+2\right)+\left(p+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(s^2-p-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow s^2-p-2=0\Leftrightarrow p+2=s^2\Leftrightarrow ab+2=\left(a+b\right)^2\)

Vì a,b là số hữu tỉ nên ab+2 là bình phương của 1 biểu thức hữu tỉ

thay 1 bởi \(ab+bc+ca\)

Ta có : \(\sqrt{\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)

Ta thấy : \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

              \(b^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+b\right)\)

              \(c^2+ab+bc+ca=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)Là một số hữu tỉ vì\(a;b;c\)là các số hữu tỉ