x,y,z>0,xyz=1
P=\(\frac{x^3}{\left(1+z\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\). tìm gtnn của P.
Những câu hỏi liên quan
cho x y z > 0 và xyz=1. Tìm Min của \(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)
dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi
\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc
EZ :)))
nhưng làm thế thì ko bảo toàn đc dấu bất đẳng thức mà
TA LẦN LƯỢT ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ VÀO TỪNG BDT SAU SẼ ĐƯỢC:
Có: \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}{64\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)
=> \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3x}{4}\)
CMTT TA CŨNG SẼ ĐƯỢC: \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3z}{4}\end{cases}}\)
=> TA CỘNG TỪNG VẾ 3 BĐT ĐÓ LẠI SẼ ĐƯỢC:
\(\Rightarrow P+\frac{1+x}{4}+\frac{1+y}{4}+\frac{1+z}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow P+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}\)
TA LẠI ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ 1 LẦN NỮA SẼ ĐƯỢC:
\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3\sqrt[3]{xyz}-3}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3-3}{4}=\frac{6-3}{4}=\frac{3}{4}\) (DO \(xyz=1\))
DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=y=z\)
MÀ: \(xyz=1\Rightarrow x=y=z=1\)
VẬY P MIN \(=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Cho x y z > 0 và xyz=1.Tìm \(P=\frac{x^3}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}a+\frac{y^3}{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}\)
dùng bunhia cho phần mẫu số là ra
Cho x,y,z>0 thỏa mãn: x+y+z=3. Tìm GTNN của \(P=\frac{\left(x+1\right)^2.\left(y+1\right)^2}{z^2+1}+\frac{\left(y+1\right)^2.\left(z+1\right)^2}{x^2+1}+\frac{\left(z+1\right)^2.\left(x+1\right)^2}{y^2+1}\)
Cho x,y,z>0; xyz=1. Tìm Min H=\(\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(x+z\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
Ta có:
\(H=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{x^2}}{x\left(y+z\right)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y\left(z+x\right)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{xy+zx}+\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2}{yz+xy}+\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^2}{zx+yz}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta được:
\(H\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1
Vậy Min(H) = 3/2 khi x = y = z = 1
x;y;z>0. CMR: \(\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\ge2+\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)
Xem thêm câu trả lời
Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{xyz}\ge9\)
thực hiện phép tính
a,x^3+left[frac{xleft(2y^3-x^3right)}{x^3+y^3}right]^3-left[frac{yleft(2x^3-y^3right)}{x^3+y^3}right]^3
b,frac{frac{xleft(x+yright)}{x-y}+frac{xleft(x+zright)}{x-z}}{1+frac{left(y-zright)^2}{left(x-yright)left(x-zright)}}+frac{frac{yleft(y+zright)}{y-z}+frac{yleft(y+xright)}{y-x}}{1+frac{left(z-xright)^2}{left(y-zright)left(y-xright)}}+frac{frac{zleft(z+xright)}{z-x}+frac{zleft(z+yright)}{z-y}}{1+frac{left(x-yright)^2}{left(z-xright)left(z-yright)}}
c,left[frac{y+z-2x}{fra...
Đọc tiếp
thực hiện phép tính
a,\(x^3+\left[\frac{x\left(2y^3-x^3\right)}{x^3+y^3}\right]^3-\left[\frac{y\left(2x^3-y^3\right)}{x^3+y^3}\right]^3\)
b,\(\frac{\frac{x\left(x+y\right)}{x-y}+\frac{x\left(x+z\right)}{x-z}}{1+\frac{\left(y-z\right)^2}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}}+\frac{\frac{y\left(y+z\right)}{y-z}+\frac{y\left(y+x\right)}{y-x}}{1+\frac{\left(z-x\right)^2}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}}+\frac{\frac{z\left(z+x\right)}{z-x}+\frac{z\left(z+y\right)}{z-y}}{1+\frac{\left(x-y\right)^2}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}}\)
c,\(\left[\frac{y+z-2x}{\frac{\left(y-z\right)^3}{y^3-z^3}+\frac{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}{y^2+yz+z^2}}+\frac{z+x-2y}{\frac{\left(z-x\right)^3}{z^3-x^3}+\frac{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}{z^2+xz+x^2}}+\frac{x+y-2z}{\frac{\left(x-y\right)^3}{x^3-y^3}+\frac{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}{x^2+xy+y^2}}\right]:\frac{1}{x+y+z}\)
a , cho x,y,z >0 ; xyz =1
CMR: \(\frac{x^3}{\left(1+y\right).\left(1+z\right)}\)+\(\frac{y^3}{\left(1+z\right).\left(1+x\right)}\)+\(\frac{z^3}{\left(1+x\right).\left(1+y\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Xem thêm câu trả lời
Cho \(x,y,z>0\)và \(xyz=1\)
Tính \(MinP=\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\)
Câu hỏi của Đỗ Tuấn Linh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath