1. Xét n=1
VT = 1² = 1
VP = \(\dfrac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}=\dfrac{1.\left(4.1-1\right)}{3}=1\)
=> VT = VP
=> Mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n = k , mệnh đề đúng hay: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2=\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)}{3}\)+) Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng, tức là: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right).\left(4.\left(k+1\right)^2-1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(1\right)\)
+) Thật vậy, với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{k.\left(4.k^2-1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\\ =\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)+3.\left(2k+1\right)^2}{3}=\dfrac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(2\right)\)+) Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh

2. +) Xét n = 1
\(< =>4^1+15.1-1=18⋮9\)
=> với n=1 , mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n=k , mệnh đề đúng, tức là: \(4^k+15k-1⋮9\)
+) Ta phải chứng minh với n = k + 1 mệnh đề cũng đúng, tức là: \(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1⋮9\)
Thật vậy: với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=4.4^k+15k+15-1\\ =4.4^k+4.15k-4-3.15k+18=4.\left(4^k+15k-1\right)-\left(45k-18\right)⋮9\)=> Điều phải chứng minh.

a) n(n + 5) - (n - 3)(n + 2) = n² + 5n - n² - 2n + 3n + 6 = 6n + 6 = 6(n + 1) \(⋮\)6 \(\forall\)x \(\in\)Z

b) (n² + 3n - 1)(n + 2) - n³  + 2 = n³ + 2n² + 3n² + 6n - n - 2 - n³ + 2 = 5n² + 5n = 5n(n + 1) \(⋮\)5 \(\forall\)x \(\in\)Z

c) (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) = 6n² + 30n + n + 5 - 6n² + 3n - 10n + 5 = 24n + 10 = 2(12n + 5) \(⋮\)2 \(\forall\)x \(\in\)Z

d) (2n - 1)(2n + 1) - (4n - 3)(n - 2) - 4 = 4n² - 1 - 4n² + 8n + 3n - 6 - 4 = 11n - 11 = 11(n - 1) \(⋮\)11 \(\forall\)x \(\in\)Z

a/ Đẳng thức bạn ghi nhầm rồi, đây là công thức rất quen thuộc:

\(1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)

Với \(n=1;2\) ta thấy đúng

Giả sử đẳng thức cũng đúng với \(n=k\) hay:

\(1^3+2^3+...+k^3=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}\)

Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay:

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\)

Thật vậy, ta có:

\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\frac{k^2\left(k+1\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3\)

\(=\left(k+1\right)^2\left[\frac{k^2}{4}+k+1\right]=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2+4k+4}{4}\right)\)

\(=\frac{\left(k+1\right)^2\left(k+2\right)^2}{4}\) (đpcm)

b/

Ta thấy đẳng thức đúng với \(n=1;2\)

Giả sử nó cũng đúng với \(n=k\) hay:

\(1+3+...+\left(2k-1\right)=k^2\)

Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\) hay:

\(1+3+...+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)=\left(k+1\right)^2\)

Thật vậy, ta có:

\(1+3+...+\left(2k-1\right)+\left(2k+1\right)\)

\(=k^2+2k+1=\left(k+1\right)^2\) (đpcm)

\(1,\)

\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)

Với \(n=k+1\)

\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)

Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)

Với \(n=k+1\)

\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)

Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(1,\)

\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)

Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)

\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)

Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)

\(2,\)

Ta thấy:\(1+2+...+2002=\left(2002+1\right)\left(2002-1+1\right):2=2003\cdot2002:2⋮11\left(2002⋮11\right)\)

Do đó \(1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002}⋮1+2+...+2002⋮11\)

a) \(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)

 \(N=\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

Đặt A = \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)

A < \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=1-\frac{1}{n}< 1\)( vì n \(\ge\)2 )

\(\Rightarrow N=\frac{1}{2^2}.\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< \frac{1}{2^2}.1=\frac{1}{4}\)

Vậy \(N< \frac{1}{4}\)

b)  \(P=\frac{2!}{3!}+\frac{2!}{4!}+\frac{2!}{5!}+...+\frac{2!}{n!}\)

\(P=2!\left(\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+...+\frac{1}{n!}\right)\)

\(P< 2.\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\right)\)

\(P< 2.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\right)=1-\frac{2}{n}< 1\)

Vậy \(P< 1\)

P<1 nha bn k nha