Với x = y \(\ge\)0=> \(\sqrt{x}=\sqrt{y}\) là số hữu tỉ

Với \(x\ne y>0\)

Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=t\) là số hữu tỉ 

=> \(\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=t\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{t}\)  là số hữu tỉ 

=> \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) là số hữu tỉ

Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\end{cases}}\)

\(1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\)  (\(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1>0\))

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) (\(\sqrt{xy}-1>0\))

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{xy}=x+y-xy-1\)

Vì x, y nguyên nên \(\sqrt{xy}\) cũng phải nguyên

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) nguyên  (1)

Ta lại có: 

\(x-y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}\) nguyên (2)

Lấy (1) + (2) và  (1) - (2) ta có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{x}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x},\sqrt{y}\) là số nguyên

Vậy x, y là bình phương đúng của 1 số nguyên.

mình sửa lại cái đề là: x, y nguyên nha m.n

Thật ra là có thể tìm được luôn là: \(\left(x,y\right)=\left(4,9;9,4\right)\)luôn đấy. 

Tham khảo nha ông:

a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)

Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)

\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)

Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)

Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm

b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)

Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)

Từ đây ta thấy giống phần a nên :

\(B\text{=}a+b-c\)

\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)

Suy ra : đpcm.

Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.

Lời giải:

Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\in\mathbb{Q}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x}=a-\sqrt{y}\)

Bình phương 2 vế:
\(x=a^2+y-2a\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow 2a\sqrt{y}=a^2+y-x\in\mathbb{Q}\) do \(a,x,y\in\mathbb{Q}\)

Ta thấy \(\left\{\begin{matrix} 2a\sqrt{y}\in\mathbb{Q}\\ 2a\in\mathbb{Q}\end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{y}\in\mathbb{Q}\)

\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Q}\\ \sqrt{y}\in\mathbb{Q}\end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{x}\in\mathbb{Q}\)

Ta có đpcm.

Đẳng thức đã cho tương đương với 

\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)

Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh

\(ĐKXĐ:x\ge0;y\ge0\)

Ta có:\(pt\Rightarrow2\sqrt{3}-3=\sqrt{3}x+\sqrt{3}y-6xy\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\left(x+y-2\right)=3\left(2xy-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y-2=\sqrt{3}\left(2xy-1\right)\)

Nếu \(2xy-1\ne0\),ta có:

\(\Rightarrow\sqrt{3}=\frac{x+y-2}{2xy-1}\inℚ\left(L\right)\)

Do đó:2xy-1=0,từ đó suy ra x+y-2=0,do đó ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}2xy-1=0\\x+y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{2}\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{2}\\x=2-y\end{cases}\Leftrightarrow\left(2-y\right)y=\frac{1}{2}}\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=\frac{1}{2}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y-1=\frac{1}{\sqrt{2}}\\y-1=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\\y=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}}\left(TM\right)\)

Vậy tập nghiệm của pt là:\(\left(x,y\right)=\left\{\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}};1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}};1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}\)

xét 1-1/xy:
=(xy-1)/xy
nhân 4x^3y^3 vào bt:
(4x^4y^4-4x^3y^3)/4x^4y^4
thay 4x^4y^4=(x^3+y^3)^2:
=[(x^3+y^3)^2-4x^3y^3]/(x^3+y^3)^2
=(x^6+y^6-2x^3y^3)/(x^3+y^3)^2
=(x^3-y^3)^2/(x^3+y^3)^2
=>căn(1-1/xy)=lx^3-y^3l / lx^3+y^3l là số hữu tỉ


 

Cô phải đọc rất kĩ mới hiểu bài của Minh. Lần sau em chú ý dùng công thức có trong phần \(f\left(x\right)\)để bài làm được trực quan hơn.
Cảm ơn em đã trình bày bài giải !

\(x^3+y^3=2x^2y^2\)

<=>   \(\left(x^3+y^3\right)^2=4x^4y^4\)

<=>  \(\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4-4x^3y^3\)

<=>  \(\left(x^3-y^3\right)^2=4x^4y^4\left(1-\frac{1}{xy}\right)\)

<=>  \(1-\frac{1}{xy}=\frac{\left(x^3-y^3\right)^2}{4x^4y^4}\)

<=>  \(\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\frac{\left|x^3-y^3\right|}{2x^2y^2}\) là số hữu tỉ