Giả sử m ≥ n ⇒ 2^m ≥ 2ⁿ

Chia cả 2ⁿ ≠ 0 ⇒ 2^m-n + 1 = 2^m

 + Nếu m=0 ⇒ 2^-n=0 (loại)

 + Nếu m≥1 ⇒ 2^m chẵn 

                   ⇒ 2^m-n lẻ ⇒ m-n=0 ⇔ m=n

   ⇒ 2^m=2⁰+1 ⇒ 2^m=2 ⇔ m=1 ⇒ n=1 (tm)

Vậy, m=n=1

Vì m và n là 2 số tự nhiên ko chia hết cho 4 và có số dư là hai số lẻ khác nhau => Chúng có dạng:

m = 4a + 1       ;   n = 4b + 3

Ta có : m + n = (4a + 1) + (4b + 3) = 4a + 4b + 4 = 4(a + b + 1)

Vì 4 chia hết cho 2 => 4(a + b + 1) chia hết cho 2 => m + n chia hết cho 2 (đpcm)

2^m-2^n=2^8

=>m=9,n=8

\(\left(m-2\right)\left(n+n-3\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)\left(2n-3\right)=5\)

\(\Rightarrow m-2\inƯ\left(5\right);2n-3\inƯ\left(5\right)\)

...............

Ta có: (m-2).(2n-3) =5 hay 2mn-3m-4n+6==>m=3; n=4

 Đặt A = m² + n² + 2.m.n +m + 3n + 2 ta có :

A > m² +n² + 2.m.n =( m+n )² ; 

và A<m² +n² + 4 +2.m.n + 4.m+ 4n = ( m+n+ 2 )² 

Vậy A nằm giữa hai số chính phương liên tiếp nên : 

A chính phương <=> A = ( m + n + 1 )² 

                            <=> A = m² + n² + 2.m.n + 2.m + 2.n + 1 <=> m = n + 1 

Vậy n \(\in\)N tùy ý và m = n+ 1