cho các số dương a,b,c thỏa mãn 3(ab+bc+ac)=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a^2-bc+1}+\frac{b}{b^2-ac+1}+\frac{c}{c^2-ab+1}\ge\frac{1}{a+b+c}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3abc. Chứng minh rằng :
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\left[\frac{a^4}{\left(ab+1\right)\left(ac+1\right)}+\frac{b^4}{\left(bc+1\right)\left(ab+1\right)}+\frac{c^4}{\left(ca+1\right)\left(bc+1\right)}\right]\ge\frac{27}{4}\)
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh
1) Cho a, b, c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ac}\ge\frac{3}{2}\)
2) Cho a, b, c >0 thỏa mãn: ab+ac+bc+abc=4. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\le3\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
2.
Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)
\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)
Cho o dong 2 la x,y,z nhe,ghi nham
Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn ab+bc+ac=3
Chứng minh \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
dự đoán của mouri kogoro
a=b=c=1
\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{\left(a^2+1\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(a^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)4}}=1.\)
\(\frac{1}{b^2+1}+\frac{\left(B^2+1\right)}{4}\ge1\)
\(\frac{1}{c^2+1}+\frac{\left(c^2+1\right)}{4}\ge1\)
\(VT+\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{3}{4}\ge3\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\left(cosi\right)\)
\(VT+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\ge3\)
\(VT\ge3-\frac{6}{4}=\frac{12-6}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh:
\(\frac{a+b}{bc+a^2}+\frac{b+c}{ac+b^2}+\frac{a+c}{ab+c^2}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.\)\(\frac{1}{c}\).
Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: abc=1.
Chứng minh rằng P= \(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{3}{2}\).
AI GIẢI GIÚP EM VỚI... NHIỀU BÀI KHÓ THẾ NÀY EM SAO LÀM NỔI!!
câu a,mình ko biết nhưng câu b bạn cộng 1+b cho số hạng đầu áp dụng cô si,các số hạng khác tương tự rồi cộng vế theo vế,ta có điều phải c/m
Để chừng nào t làm được câu 1 thì t giải giúp cho 1 lần luôn
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+ac+bc=abc . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
Biến đổi tương đương bất đẳng thức và chú ý đến \(x+y+z=1\)Ta được
\(\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\) ( trừ cả hai vế với (x+y+z)^2 )
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}-\left(x+y+z\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-z\right)^2}{z}+\frac{\left(y-x\right)^2}{x}+\frac{\left(z-y\right)^2}{y}\ge\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\frac{1}{x}-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(\frac{1}{y}-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(\frac{1}{z}-1\right)\ge0\)
Vì x + y + z = 1 nên 1/x; 1/y; 1/z > 1. Do đó bđt cuối cùng luôn đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=3\)
Cách trâu bò :
Ta có :
\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{â^2}\ge3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\right):\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge3\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge3\)
+) \(ab+ac+bc=abc\Leftrightarrow a+b+c=6-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6-\left(ab+bc+ca\right)>0\\\left(a+b+c\right)^2=\left[6-\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\end{cases}}\)
Còn lại phân tích nốt ra rùi áp dụng bđt cauchy là ra . ( Mình cũng ko chắc biến đổi đoạn đầu đúng chưa , có gì bạn xem lại giùm mình sai bỏ qua )
Từ giả thiết \(ab+bc+ca=abc< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)
Đặt \(\left\{\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)khi đó bài toán quy về :
Biết \(x+y+z=1\)Chứng minh rằng : \(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}+\frac{x^2}{z}\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
p/s : bây giờ bài toán đã đơn giản rồi
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1\)
Chứng minh rằng \(ab+bc+ac\ge\frac{abc}{3}\)
Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=1\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=\sqrt{abc}\)
Do đó : \(ab+bc+ac\ge\frac{abc}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ac\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(\sqrt{a^2bc}+\sqrt{b^2ac}+\sqrt{c^2ab}\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+b\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2+c\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ac=3. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Ta dễ có:\(\frac{1}{a^2+1}=\frac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Một cách tương tự \(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2};\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2}\)
Khi đó: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge3-\frac{a+b+c}{2}\)
Cần chứng minh: \(3-\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow a+b+c\le3\)
Hình như có gì đó sai sai @@
Lời giải kia sai rồi :V Làm cách khác:
Ta có:\(\frac{1}{a^2+1}=\frac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\)
Tương tự rồi ta được:
\(LHS=3-\left(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{3a^2+3}+\frac{b^2}{3b^2+3}+\frac{c^2}{3c^2+3}\le\frac{1}{2}\)
Ta dễ có được:
\(\frac{4a^2}{3a^2+3}=\frac{4a^2}{3a^2+ab+bc+ca}=\frac{\left(a+a\right)^2}{a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\le\frac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\)
Tương tự:
\(\frac{4b^2}{3b^2+3}\le\frac{b^2}{b\left(a+b+c\right)}+\frac{b^2}{2b^2+ca};\frac{4c^2}{3c^2+3}\le\frac{c^2}{c\left(a+b+c\right)}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)=\frac{1}{4}\left(1+\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Một cách khác ta dễ có được: \(\Sigma\frac{a^2}{2a^2+bc}\le1\)
Done !
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\ge\frac{3}{2}\)
Cách 1:
Do vai trò của a;b;c là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow3=ab+bc+ca\le3ab\Rightarrow ab\ge1\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}=\dfrac{a^2+b^2+2}{a^2b^2+a^2+b^2+1}=1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+a^2+b^2+1}\)
\(\ge1-\dfrac{a^2b^2-1}{a^2b^2+2ab+1}=1-\dfrac{ab-1}{ab+1}=\dfrac{2}{1+ab}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{1+ab}+\dfrac{1}{1+c^2}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{2}{1+ab}+\dfrac{1}{1+c^2}\ge\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow c^2+3-ab\ge3abc^2\)
\(\Leftrightarrow c^2+ac+bc\ge3abc^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge3\)
Đúng do \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ca}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cách 2:
\(\Leftrightarrow1-\dfrac{a^2}{a^2+1}+1-\dfrac{b^2}{b^2+1}+1-\dfrac{c^2}{c^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2}{3a^2+3}+\dfrac{3b^2}{3b^2+3}+\dfrac{3c^2}{3c^2+3}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2}{2a^2+a^2+ab+bc+ca}+\dfrac{3b^2}{2b^2+b^2+ab+bc+ca}+\dfrac{3c^2}{2c^2+c^2+ab+bc+ca}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{b\left(a+b+c\right)+2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b+c\right)+2c^2+ab}\le\dfrac{1}{2}\)
Ta có:
\(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)+2a^2+bc}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(1+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ac}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ac}{2b^2+ac}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(bc\right)^2}{2a^2bc+\left(bc\right)^2}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{2ab^2c+\left(ac\right)^2}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{2abc^2+\left(ab\right)^2}\ge1\)
Đúng do:
\(VT\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\)
Bài này chọn điểm rơi khộng có tác dụng đâu.
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Khi đó \(\frac{1}{a^2+1}=\frac{1}{2}\)
Ta cần ghép \(\frac{1}{a^2+1}\)với hạng tử \(k\left(a^2+1\right)\)sao cho khi Cô-si đảm bảo dấu "=" xảy ra khi \(a=1\)
Mà \(a^2+1=2\)
Lại có khi Cô-si 2 số dương trên, dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{a^2+1}=k\left(a^2+1\right)\)hay \(\frac{1}{2}=k.2\)hay \(k=\frac{1}{4}\)
Đặt \(S=\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\frac{1}{a^2+1}\)và \(\frac{a^2+1}{4}\), ta có \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2+1}.\frac{a^2+1}{4}}=1\)
Tượng tự, ta có \(\frac{1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{4}\ge1\)và \(\frac{1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{4}\ge1\)
\(\Rightarrow S+\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\ge3\)\(\Leftrightarrow S\ge3-\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\)
BĐT duy nhất liên hệ giữa \(a^2+b^2+c^2\)và \(ab+bc+ca\)là \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\), từ đó \(a^2+b^2+c^2\ge3\)nhưng nếu vậy thì \(S\ge3-\frac{a^2+b^2+c^2+3}{4}\le3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}\)(xảy ra trường hợp ngược dấu). Như vậy ta không thể dùng cách chọn điểm rơi.
Còn cách Cô-si ngược dấu cũng chẳng làm ăn được gì:
\(\frac{1}{a^2+1}=\frac{a^2+1-a^2}{a^2+1}=1-\frac{a^2}{a^2+1}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Tương tự, ta có \(\frac{1}{b^2+1}\ge1-\frac{b}{2}\)và \(\frac{1}{c^2+1}\ge1-\frac{c}{2}\)
\(\Rightarrow S\ge3-\frac{a+b+c}{2}\)
Khổ nỗi BĐT duy nhất liên hệ giữa \(a+b+c\)và \(ab+bc+ca\)là \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)mà khi dùng BĐT này thì lại xuất hiện trường hợp ngược dấu \(S\ge3-\frac{a+b+c}{2}\le3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)
Dùng cả 2 cách không được nên mình nháp mãi rồi cũng chịu thua. Mình đăng lên đây mong các bạn giúp đỡ. Cảm ơn trước nhé.
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ca}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2}\)
Tương tự cộng lại suy ra \(VT\le\frac{3}{2}\)
Suy ra sai đề :)