đặt \(k^2=n^2+n+6\Rightarrow4k^2=4n^2+4n+24\Rightarrow\left(2k\right)^2=\left(2n+1\right)^2+23\)

\(\Rightarrow\left(2k\right)^2-\left(2n+1\right)^2=23\Rightarrow\left(2k+2n+1\right)\left(2k-2n-1\right)=23\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n+1=23\\2k-2n-1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n=22\\2k-2n=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+n=11\\k-n=1\end{matrix}\right.\Rightarrow}\left\{{}\begin{matrix}k=6\\n=5\end{matrix}\right.\)

vậy n=5

Ta có : \(2^m+2^n=2^{m+n}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2^m+2^n}{2^{m+n}}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2^n}+\frac{1}{2^m}=1\)

+) Xét \(m=0\Rightarrow\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^n}>1\) ( loại )

+) Xét \(m=1\Rightarrow\frac{1}{2^m}=\frac{1}{2}\Rightarrow n=1\) ( thỏa mãn)

+) Xét \(m>1\Rightarrow\frac{1}{2^m}< \frac{1}{2},\frac{1}{2^n}< \frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^n}< 1\) ( Do n là số tự nhiên, loại )

Vậy : \(m=1,n=1\) thỏa mãn đề.

\(2^m+2^n=2^{m+n}\)\(\Leftrightarrow2^{m+n}-\left(2^m+2^n\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2^{m+n}-2^m-2^n=0\)\(\Leftrightarrow\left(2^{m+n}-2^m\right)-2^n+1=1\)

\(\Leftrightarrow2^m\left(2^n-1\right)-\left(2^n-1\right)=1\)\(\Leftrightarrow\left(2^m-1\right)\left(2^n-1\right)=1\)

Vì m , n là số tự nhiên \(\Rightarrow2^m-1\)và \(2^n-1\)cũng là số tự nhiên

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\2^n-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^m=2\\2^n=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=1\)

Vậy \(m=n=1\)

2^m + 2ⁿ = 2 ^m+n khi và chỉ khi m = n = 1 => m + n = 2.

' v '  

Do 2^m+2ⁿ= 2^m+n

=> 2^m+n- 2^m- 2ⁿ= 0 (đổi vế)

=> 2^m(2ⁿ-1) - 2ⁿ+1= 1 (cộng 2 vế cho 1, phân phối 2^m+n vs 2^m)

=>'2^m(2ⁿ-1) -(2ⁿ-1)=1 ( qui tắc đóng ngoặc )

=> (2ⁿ-1)(2^m-1) =1 [phân phối 2^m(2ⁿ-1) vs (2ⁿ-1)]

=> 2ⁿ-1=1 và 2^m-1=1

=> n=1 và m=1

Vậy m+n= 2

Thắc mắc gì cứ hỏi, nếu sai ai đó chữa lại nhé

_ Hết_

Ta có:2ⁿ(2^m-n-1)=64.31

         =>2ⁿ=64

         =>2ⁿ=2⁶=> n=6

n=6 ta có:2^m-n-1=31

           => 2^m-n=32=> 2^m-6=2⁵

                              => m-6=5=> m=6+5=11

vậy m=11 , n=6 

#hoctot#

\(2^m+2^n=2^{m+n}\Rightarrow\frac{2^m+2^n}{2^m.2^n}=1\Leftrightarrow\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^n}=1\)

Nếu m=0 thì \(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^n}>1\)

Nếu m=1 thì \(\frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^n}=1\Rightarrow n=1\)

Nếu m>1 thì \(\frac{1}{2^m}< \frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{2^n}>\frac{1}{2}\Rightarrow n=0\Rightarrow\frac{1}{2^m}+1=1\left(wrong\right)\)

Vậy m=1;n=0 và n=1;m=0

Ta có :\(2^m+2^n=2^{m+n}\)( 1 )

\(\Leftrightarrow\) \(2^m=2^{m+n}-2^n\)

\(\Leftrightarrow2^m=2^n.\left(2^m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2^m}{2^n}=2^m-1\)

\(\Leftrightarrow2^{m-n}=2^m-1\) 

+) \(m=0\) 

\(\Rightarrow2^m=1\)

\(\Rightarrow2^{m-n}=0\)

\(\Rightarrow2^{-n}=0\)

\(\Rightarrow\) Vô lí 

\(\Rightarrow\) loại 

+) \(m\ge1\)

\(\Rightarrow2^m\) là số chẵn 

\(\Rightarrow2^m-1\) là số lẻ

\(\Rightarrow2^{m-n}\) là số lẻ 

\(\Rightarrow2^{m-n}=1\)

\(\Rightarrow2^{m-n}=2^0\)

\(\Rightarrow m-n=0\)

\(\Rightarrow m=n\)

Thay \(m=n\) vào ( 1 ) ta được :

\(2^m+2^m=2^{m+m}\)

\(\Rightarrow2^m.2=2^{2m}\)

\(\Rightarrow2^{m+1}=2^{2m}\)

\(\Rightarrow m+1=2m\)

\(\Rightarrow m=1\)

Vậy \(m=n=1\) 

Bạn tham khảo nhé : https://olm.vn/hoi-dap/detail/16918137730.html nha

Bài làm

Ta có: 2^m + 2ⁿ = 2^m + n  

     => 2^m + 2ⁿ = 2^m . 2ⁿ 

     => 2^m . 2ⁿ - 2^m - 2ⁿ = 0

     => 2^m ( 2ⁿ -1 ) - 2ⁿ + 1 - 1 = 0

     =>  2^m ( 2ⁿ -1 ) - ( 2ⁿ -1 ) = 0 + 1  

     => ( 2^m - 1 ) ( 2ⁿ - 1 ) = 1 = 1.1

     => 2^m - 1 = 1 => 2^m = 2 => m = 1 

           2ⁿ - 1 = 1 => 2ⁿ = 2 => n = 1 

Vậy m = 1; n = 1 

# Chúc bạn học tốt #

Gọi M = ab (a khác 0)

Ta có N = a+b (N<19)

ab – (a+b) = P + 24 (0<P

10.a + b – a – b = P + 24

9.a = P + 24 (1)

Suy ra: 24 < P+24 < 34

hay 24 < 9.a < 34

Vậy a = 3

Thay vào (1). Ta được: 9 x 3 = P + 24

=> P = 3

P là tổng các chữ số của N, mà N < 19

=> N = 3 hoặc N = 12

N=3 và a=3 => b=0

N=12 và a=3 => b=9

M=30 và M= 39

Thử lại:

M=30 N = 3

M-N= 30 – 3 = 27

P = 3 => P + 24 = 27

M-N = P + 24 = 27 (đúng)

M=39 N = 3+9 = 12

M-N= 39 – 12 = 27

P = 1 + 2 = 3 => P + 24 = 27

M-N = P + 24 = 27 (đúng)

Gọi M= ab                                   (a khác 0)
Ta có N = a+b                                    (N<19)

ab – (a+b) = P + 24                          (0<P<10)
10.a + b – a – b = P + 24
9.a = P + 24            (1)
Suy ra:   24 < P+24 < 34
hay    24  <  9.a  <  34
Vậy  a = 3
Thay vào (1). Ta được:   9 x 3 = P + 24
=> P = 3
P là  tổng các chữ số của N, mà N < 19
=> N = 3  hoặc  N = 12
N=3 và a=3    => b=0
N=12 và a=3  => b=9
M=30    và   M= 39