\(2015^{2015}=2014.2015^{2014}+2015^{2014}\)

Trên là 1 cách viết

G/s: 2015^2015 có thể viết thành tổng k số tự nhiên bất kì: n₁ + n₂ +...+n_k 

Xét \(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) tích của 3 số tự nhiên liên tiếp vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 

mà ( 2; 3) = 1; 2.3 = 6 

Do đó: \(n^3-n\) chia hết cho 6 

Khi đó:

 \(n_1^3-n_1⋮6\)

\(n_2^3-n_2⋮6\)

\(n_3^3-n_3⋮6\)

....

\(n_k^3-n_k⋮6\)

=> \(\left(n_1^3-n_1\right)+\left(n_2^3-n_2\right)+...+\left(n_k^3-n_k\right)⋮6\)

=> \(\left(n_1^3+n_2^3+...+n_k^3\right)-\left(n_1+n_2+...+n_k\right)⋮6\)

=> \(\left(n_1^3+n_2^3+...+n_k^3\right);\left(n_1+n_2+...+n_k\right)\) có cùng số dư khi chia cho 6

Mặt khác: 

\(n_1+n_2+...+n_k=2015^{2015}\equiv\left(-1\right)^{2015}\equiv-1\equiv5\left(mod6\right)\)

=> 2015^2015 chia 6 dư 5

Hoặc có thể làm: 

\(n_1+n_2+...+n_k=2015^{2015}\)

vì 2015 chia 6 dư 5 ; 5^2 chia 6 dư 1 => 2015^2 chia 6 dư 1=> 2015^2014 chia 6 dư 1 => 2015^2015 chia 6 dư 5 

Vậy Tổng lập phương các số tự nhiên đó chia 6 dư 5

đặt 2015²⁰¹⁶ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a₁₀₀

đặt    S = a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... + a₁₀₀³

     S - 2015²⁰¹⁶ = (a₁³ + a₂³ + a₃³ + a₄³ + ... + a₁₀₀³) - (a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ... + a₁₀₀)

                       = (a₁³ - a₁) + (a₂³ - a₂) + (a₃³ - a₃) + (a₄³ - a₄) + ... + (a₁₀₀³ - a₁₀₀)

ta thấy mỗi hiệu trên đều chia hết cho 6(vì mỗi hiệu đều là tích 3 số tự nhiên liên tiếp)

=> S - 2015²⁰¹⁶ chia hết cho 6

=> S và 2015²⁰¹⁶ chia 6 có cùng số dư

lại thấy 2015 chia 6 dư -1 => 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư (-1)²⁰¹⁶ hay 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư 1

=> S chia 6 dư 1

vậy tổng các lập phương của mỗi số hạng của tổng 2015²⁰¹⁶ chia 6 dư 1

Đặt \(1995^{1995}=a=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)

Gọi \(S=a_1^3+a_2^3+a_3^3+.....+a_n^3\)

\(=a_1^3+a_2^3+a_3^3+.....+a_n^3-a+a\)

\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+\left(a_3^3-a_3\right)+......+\left(a_n^3-a_n\right)+a\)

\(=\left(a_1-1\right)\cdot a_1\cdot\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)\cdot a_2\cdot\left(a_2+1\right)+......+\left(a_n-1\right)\cdot a_n.\left(a_n+1\right)+a\)

Dễ thấy toàn bộ hạng tử đều chia hết cho 6 ngoại trừ a.

Do a là số lẻ chia hết cho 3 nên chia 6 dư 3.

Vậy nó chia 6 dư 3

Vậy tổng của các số tự nhiên ở đâu ạ :VV

Đặt 1995¹⁹⁹⁵ = a = a₁ + a₂ + …+ a_n.

Gọi  =____ =_____ + a - a

           = (a₁ ³ - a₁) + (a₂ ³ - a₂) + …+ (a_n ³ - a_n) + a

Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ cần tìm số dư khi chia a cho 6

1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3

Đúng không các pn, nhanh lên để chị mình đi học nha

Đặt  \(P=1995^{1995}=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)  (với a₁, a₂, ..., a_n là các số tự nhiên và n là số tự nhiên khác 0)

và  \(S=a_1^3+a_2^3+a_3^3+a_n^3\)

Xét hiệu  

\(S-P=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+\left(a_3^3-a_3\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)\)

\(=\left(a_1-1\right)a_1\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right)a_2\left(a_2+1\right)+\left(a_3-1\right)a_3\left(a_3+1\right)+...+\left(a_n-1\right)a_n\left(a_n+1\right)\)

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 2

=> Mỗi số hạng đều chia hết cho 6

=> \(\left(S-P\right)⋮6\)

Do đó muốn tìm số dư của S khi chia cho 6, ta chỉ cần tìm số dư của P khi chia cho 6

Lại có  \(P=1995^{1995}=\left(1995^3\right)^{665}\)    đồng dư với  \(3^{665}\)  (mod 6)

Mà  \(3^k\)  (với k là số tự nhiên khác 0) luôn chia 6 dư 3 => \(3^{665}\)  chia 6 dư 3

=> P chia 6 dư 3

=> S chia 6 dư 3.

p/s: Học toán với OnlineMath - Online Math có thể thêm kí hiệu đồng dư được không ạ?

Học liệu của ĐH Sư phạm Hà Nội