1. \(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2=4x-1\\y^2+2x^2=4y-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+2y^2\right)-\left(y^2+2x^2\right)=4x-1-\left(4y-1\right)\\\left(x^2+2y^2\right)+\left(y^2+2x^2\right)=4x-1+4y-1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y^2-x^2=4x-4y\left(1\right)\\3\left(x^2+y^2\right)=4\left(x+y\right)-2\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ ( 1 ) \(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x+y\right)-4\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+y+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x+y=-4\end{cases}}\)

Với x = y thì thay vào ( 2 ), ta được : \(6x^2-8x+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Với x + y = -4  thay vào ( 2 ), ta được : \(3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4.\left(-4\right)-2\)

\(\Leftrightarrow-6xy=-66\Leftrightarrow xy=11\)

Ta được hệ phương trình : \(\hept{\begin{cases}x+y=-4\\xy=11\end{cases}}\) mà hệ phương trình này vô nghiệm 

2. Ta cần chứng minh BĐT : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)   với a,b > 0 

Thật vậy, xét hiệu : 

\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)\(\ge\)0

Áp dụng BĐT trên, ta có : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

Tương tự : ....

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)

Vậy GTLN của biểu thức là 1 khi x = y = z = 1

thiếu đề. (2)

`(x-1)^2>=0`

\(\hept{\begin{cases}x+y=z\left(1\right)\\x^3+y^3=z^2\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta thế (1) vào (2) : \(\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(x+y\right)^2\)

<=> \(\left(x+y\right)^2-3xy=\left(x+y\right)\)

Đặt: \(x+y=S;xy=P\)vì x, y nguyên dương => S; P nguyên dương

ĐK để tồn tại nghiệm x, y là: \(S^2\ge4P\)

Có: \(S^2-3P=S\)

=> \(S+3P\ge4P\)<=> \(S\ge P\)

=> \(S^2-S=3P\le3S\)

<=> \(0\le S\le4\)

+) S = 0 loại

+) S = 1 => P = 0 loại 

+) S = 2 => P =3/2 loại 

+) S = 3 => P = 2

=> \(\hept{\begin{cases}x+y=3\\xy=2\end{cases}}\)<=> x =2; y =1 hoặc x = 1; y =2 

=>  (x; y; z ) = ( 1; 2; 3) thử lại thỏa mãn

 hoặc (x; y; z) = ( 2; 1; 3 ) thử lại thỏa mãn

+) S = 4 => P = 4 

=> \(\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=4\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)

=> (x; y; z ) = ( 2; 2; 4) thử lại thỏa mãn.

Vậy: có 3 nghiệm là:....

Hệ đã cho tương đương với : 

\(\hept{\begin{cases}xy+x+y+1=4\\yz+y+z+1=9\\xz+x+z+1=16\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\\\left(y+1\right)\left(z+1\right)=9\\\left(z+1\right)\left(x+1\right)=16\end{cases}}\)

Nhân các phương trình theo vế : \(\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2=24^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=24\\\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=-24\end{cases}}\)

Từ đây thay vào từng phương trinh trên để tìm x,y,z , rồi từ đó suy ra P

1,     P=( b²+c²-a²)-4b²c²

    = (b²+c²-a²-2bc)(b²+c²-a²+2bc)

    = (b-c-a)(a+b+c)(b+c+a)(b+c-a)

Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên ta có:

b-c-a<0, a+b+c>0, b+c+a>0,b+c-a>0

=> P <0 (đpcm)

2,  x²+y²+z²=1

Suy ra : 0 <= x²<=1, tương tự như vậy vs y và z( <= là nhỏ hơn hoặc bằng)

Xét x²+y²+z²-\(x^3\)-\(y^3\)-\(z^3\)=0

=>x²(1-x)+y²(1-y)+z²(1-z)=0(*)

có x² >=0,y²>=0, z²>=0 vs mọi x, y,z (**) (>= là lớn hơn hoặc bằng)

Lại có:

x<=1, y<=1,z<=1 suy ra : 1-x>=0, 1-y>=0, 1-z>=0 (***)

Từ (**) và (***) suy ra:

x²(1-x)+y²(1-y)+z²(1-z)>=0 vs mọi x,y,z  thỏa mãn điều kiện

Nên từ (*) suy ra:  x²(1-x)=0, y²(1-y)=0, z²(1-z)=0

Do đó:

trường hợp 1:

x=1 suy ra y=z=0 vì thế xyz=0

y=1 suy ra x=z=0 vì thế xyz=0

z=1 suy ra x=y=0 vì thế xyz=0

Vậy trong mọi trường hợp xyz=0

Ở câu 2, bạn bỏ đi cụm từ "trường hợp 1" nhé, không cần từ đó đâu!
 

a)  Cộng từng vế 2 Pt  có :   3x+2z=5\(=>x=\frac{5-2z}{3}\)Thay vào pt1 tìm đc y....

lm đc câu b rồi nhưng lười nhấn máy tính lắm nên có j nhắn tin cho mk sau nhé

Lần lượt trừ hai vế của hệ phương trình ta có : \(x^3-y^3=3\left(x-y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-3\right)=0\)
                                                                    \(\Leftrightarrow x^2+y^2+xy=3\) ( Do \(x\ne y\)).
Làm tương tự như vậy ta có hệ sau :  \(\hept{\begin{cases}x^2+xy+y^2=3\\x^2+xz+z^2=3\\y^2+yz+z^2=3\end{cases}}\) (1)
Làm tương tự như trên, trừ lần lượt từng vế phương trình  ta có:
                                    \(x^2+xy+y^2-\left(x^2+xz+z^2\right)=3-3\) 
                                                          \(\Leftrightarrow xy-xz+y^2-z^2=0\)
                                                          \(\Leftrightarrow\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)=0\)
                                                          \(\Leftrightarrow x+y+z=0\)( do \(x\ne y\))
           \(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=0\).
Cộng lần lượt từng vế của 3 phương trình ta được : \(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+xz+yz=9\).
Đặt \(a=x^2+y^2+z^2,b=xy+zy+zx\) ta có hệ sau:
       \(\hept{\begin{cases}a+2b=0\\2a+b=9\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=-3\end{cases}}}\)
Vậy \(x^2+y^2+z^2=6.\)

                                                          

tớ ko bt

Câu này mà áp dụng định lý Vi ét đối với phương trình bậc cao thì rất đơn giản vì x, y, z đều là 3 nghiệm của
 phương trình :     \(x^3-3x+1=0\).